Numeri complessi
Buonasera. Ho un problema a risolvere questa equazione, qualcuno può aiutarmi?
(z^2 + |z|^2) ( |4z+7|-1)=0
(z^2 + |z|^2) ( |4z+7|-1)=0
Risposte
Ciao Ramona97,
Benvenuta sul forum!
Beh, per il principio di annullamento del prodotto, basta che eguagli a zero ogni fattore. Sicuramente $z = 0 $ è una soluzione...
Benvenuta sul forum!
Beh, per il principio di annullamento del prodotto, basta che eguagli a zero ogni fattore. Sicuramente $z = 0 $ è una soluzione...
grazie della risposta! Comunque il mio problema sta nel trovare le soluzioni x e y nell'annullamento del fattore che contiene il valore assoluto. Perché seguendo la regola dei numeri complessi ho fatto la radice di (4x+7)^2 e 16y^2 tutto -1 uguale a zero (proprio per la legge del l'annullamento del prodotto), però poi non so più come bisogna fare per trovare da li le soluzioni
Si ha:
$|4z + 7| - 1 = 0 \implies |4x + 4iy + 7| - 1 = 0 \implies |(4x + 7) + 4iy| - 1 = 0\implies 16x^2 + 56x + 49 + 16y^2 - 1 = 0 \implies 16x^2 + 56x + 16y^2 + 48 = 0 \implies x^2 + y^2 + 7/2 x + 3 = 0$
Quest'ultima equazione rappresenta una circonferenza di centro $C(-7/4, 0) $ e raggio $r = sqrt{frac{49}{16} - 3} = sqrt{frac{1}{16}} = 1/4 $. Per cui l'equazione proposta è soddisfatta da tutti i numeri complessi giacenti su tale circonferenza. Vi sono due soluzioni reali "comode" e facilmente rilevabili corrispondenti alle intersezioni della sopra menzionata circonferenza con l'asse $x$: $(- 2, 0) $ e $(- 3/2, 0) $
$|4z + 7| - 1 = 0 \implies |4x + 4iy + 7| - 1 = 0 \implies |(4x + 7) + 4iy| - 1 = 0\implies 16x^2 + 56x + 49 + 16y^2 - 1 = 0 \implies 16x^2 + 56x + 16y^2 + 48 = 0 \implies x^2 + y^2 + 7/2 x + 3 = 0$
Quest'ultima equazione rappresenta una circonferenza di centro $C(-7/4, 0) $ e raggio $r = sqrt{frac{49}{16} - 3} = sqrt{frac{1}{16}} = 1/4 $. Per cui l'equazione proposta è soddisfatta da tutti i numeri complessi giacenti su tale circonferenza. Vi sono due soluzioni reali "comode" e facilmente rilevabili corrispondenti alle intersezioni della sopra menzionata circonferenza con l'asse $x$: $(- 2, 0) $ e $(- 3/2, 0) $
Ah non mi ero accorta fosse una circonferenza, grazie mille! Vorrei chiedere un'ultima cosa... Prima hai detto giustamente che x=0 è soluzione. Nel scrivere i vari risultati quindi io devo dire che tutti i numeri complessi sull'asse delle y sono soluzioni, giusto?
"Ramona97":
grazie mille!
Prego!
"Ramona97":
Prima hai detto giustamente che x=0 è soluzione
No, ho detto che $z = 0 $ è certamente una soluzione, ma mi stavo riferendo al primo fattore $(z^2 + |z|^2)$ che senz'altro è nullo per $z = 0$: non è difficile poi far vedere che $z = 0$ è l'unica soluzione dell'equazione $ z^2 + |z|^2 = 0 $
"Ramona97":
Nel scrivere i vari risultati quindi io devo dire che tutti i numeri complessi sull'asse delle y sono soluzioni, giusto?
No, attenzione: sono soluzioni dell'equazione proposta $z_1 = 0 $ e tutti i numeri complessi che stanno sulla circonferenza già citata, fra i quali ci sono anche le due soluzioni reali $z_2 = - 2 $ e $z_3 = - 3/2 $
Ora mi è chiaro, ringrazio ancora per la disponibilità 
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