Numeri complessi

[studente_studente]

Ciao, sto riprendendo i numeri complessi ma ho qualche problemino con due esercizi..
1) Come si risolve l'equazione
$z|z|-2z+i=0$
Non ho proprio idea di come dovere procedere.. ho provato a scrivere $z=x+iy$ ma ciò non mi aiuta per niente..

2) come si scrive in forma polare il numero $sin(alpha)+icos(alpha)$??!

Spero possiate darmi una mano.. Grazie mille in anticipo!!

[pilloeffe]

Ciao studente-studente,

1) Esercizi simili sono già stati risolti in post di qualche tempo fa, prova a cercarli. Innanzitutto si vede subito che $z_1 = i $ è certamente una soluzione. Poi si può fare uso della relazione seguente:

$z \bar z = |z|^2 = x^2 + y^2 $

Moltiplicando tutto per $\bar z = x - iy $, $z \ne 0 $, si ha:

$|z|^3 - 2|z|^2 + i\bar z = 0 $
$|z|^3 - 2|z|^2 + ix + y = 0 $
$|z|^3 - 2|z|^2 = - y - ix $

Ora, siccome il primo membro è certamente un numero reale, perché lo sia anche il secondo deve essere necessariamente $x = 0 $, il che ci conduce a soluzioni complesse immaginarie pure. Se $x = 0 $, $|z|^2 = y^2 $ e $|z|^3 = |y|^3 $, per cui si ottiene:

$|y|^3 - 2y^2 + y = 0 $

Quest'ultima equazione conduce ad una prima soluzione $y = 0 $ non accettabile (si ricordi che $z \ne 0$, quindi siccome $x = 0 $, non è accettabile che lo sia anche $y$...); supponendo $y > 0 $ si può togliere il modulo pervenendo all'equazione seguente:

$y^2 - 2y + 1 = 0 $
$(y - 1)^2 = 0 \implies y = 1 \implies z_1 = i $

che è la soluzione che avevamo già previsto dall'inizio; se invece $y < 0 $, si perviene all'equazione seguente:

$- y^2 - 2y + 1 = 0 $
$y^2 + 2y - 1 = 0 $

avente le due soluzioni $y_{1,2} = - 1 \pm sqrt{2} $, delle quali naturalmente solo quella negativa è accettabile (siamo nel caso $y < 0 $). In definitiva le due soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:

$z_1 = i $
$z_2 = - i(1 + sqrt{2})$

2) Come certamente saprai, $e^{i\alpha} = cos\alpha + i sin\alpha \implies e^{- i\alpha} = cos\alpha - i sin\alpha$
Moltiplicando tutto per $i$, si ha:

$i e^{- i\alpha} = i cos\alpha + sin\alpha = sin\alpha + i cos\alpha $

A questo punto basta osservare che $i = e^{i pi/2} $ che si trova subito la forma esponenziale richiesta:

$sin\alpha + i cos\alpha = e^{i (pi/2 - \alpha)}$

[studente_studente]

Grazie mille!!