Numeri complessi
Ciao, ho da risolvere questa equazione: $(z - i)^3 = i^3$
Io ho sviluppato la prima parentesi elevata al cubo
quindi mi viene $z^3 + i^3 - 3z^(2)i + 3z = - i$
poi mi viene $z^3 - i - 3z^(2)i + 3z = -i$
Ovviamente $-i$ si semplifica
Io dovrei scegliere tra le risposte una di queste seguenti:
a) $2i$
b)$(+-sqrt(3) + i)/2$, $2i$
c) $+-2i$
d)$(+-sqrt(3) - i)/2$, $i$
Dalle risposte capisco che ho intrapreso una strada sbagliata. Qualcuno se sa quale via intraprendere potrebbe spiegarmelo in linee generali?
ps: ho scritto le probabili risposte per facilitare la risoluzione dell'esercizio in termini di ragionamento
Io ho sviluppato la prima parentesi elevata al cubo
quindi mi viene $z^3 + i^3 - 3z^(2)i + 3z = - i$
poi mi viene $z^3 - i - 3z^(2)i + 3z = -i$
Ovviamente $-i$ si semplifica
Io dovrei scegliere tra le risposte una di queste seguenti:
a) $2i$
b)$(+-sqrt(3) + i)/2$, $2i$
c) $+-2i$
d)$(+-sqrt(3) - i)/2$, $i$
Dalle risposte capisco che ho intrapreso una strada sbagliata. Qualcuno se sa quale via intraprendere potrebbe spiegarmelo in linee generali?
ps: ho scritto le probabili risposte per facilitare la risoluzione dell'esercizio in termini di ragionamento
Risposte
$(z-i)^3=z^3-3z^2i+3zi^2-i^3=z^3-3iz^2-3z+i$
Ciao jarrod,
Ha ragione axpgn, anche se farei in un altro modo:
$(z - i)^3 = i^3 \implies (z - i)^3 - i^3 = 0 \implies (z - 2i)(z^2 - iz - 1) = 0$
Quindi $z = 2i$ è sicura e ci consente di escludere la risposta d). Qualche semplice calcolo poi conduce alle altre due soluzioni di cui alla risposta b) che è quella corretta.
Ha ragione axpgn, anche se farei in un altro modo:
$(z - i)^3 = i^3 \implies (z - i)^3 - i^3 = 0 \implies (z - 2i)(z^2 - iz - 1) = 0$
Quindi $z = 2i$ è sicura e ci consente di escludere la risposta d). Qualche semplice calcolo poi conduce alle altre due soluzioni di cui alla risposta b) che è quella corretta.
Introducendo l'incognita ausiliaria $w=z-i$ e calcolando esplicitamente il secondo membro, si ottiene l'equazione $w^3=-i$ che si risolve prendendo la radice cubica di $-i$. Per trovare le soluzioni dell'equazione originaria basta usare la sostituzione a ritroso.
@pilloeffe
Più che un metodo volevo mostrargli dove stava l'errore ... poi, appurato che $2i$ è una soluzione, senza altri calcoli sarei andato direttamente sulla b) dato che è l'unica con tre soluzioni ...
Più che un metodo volevo mostrargli dove stava l'errore ... poi, appurato che $2i$ è una soluzione, senza altri calcoli sarei andato direttamente sulla b) dato che è l'unica con tre soluzioni ...
Ringrazio tutti! infatti scoprendo quel banalissimo errore, mi è bastato subito capire che dovevo applicare Ruffini 
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