Numeri complessi

[del_ta]

Ciao,ecco l'esercizio: trovare le radici di $ z^3+2z^2+2iz=0 $
Allora una è z=0 e per trovare le altre dovrei trovare le 2 soluzioni dell'eq $ z^2+2z+2iz=0 $ Ho pensato di farlo con la formula, però mi viene il delta=1-2i.. Come si risolve?

[quantunquemente]

metti $1-2i$ in forma trigonometrica ed applica la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso

[del_ta]

"quantunquemente":metti $1-2i$ in forma trigonometrica ed applica la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso

Grazie mille! Non ci avevo proprio pensato!!

[del_ta]

E questo invece? $ (1/z^3-13i)^4 $
Per prima cosa me lo sono scritto come $ z^3=-i/13 $
Poi ho calcolato modulo e argomento, quindi con la formula delle radici ennesime $ (1/13)^(1/3)e^(i(-pi /2+2kpi)/3 $
con k=0,1,2.. adesso che faccio? Devo applicare la formula di De Moivre? Cioè elevare tutto alla quarta?

[Gi81]

Non ho capito. Devi risolvere $(1/(z^3) -13i)^4 =0$?

[del_ta]

Si

[Gi81]

Un numero elevato alla quarta è $0$ se e solo se quel numero è $0$ (in formula, $w^4 =0 <=> w=0$).
Quindi bisogna risolvere $1/(z^3) -13 i =0$, da cui $1/(z^3)= 13 i => z^3 = 1/(13 i)=> z^3 = -1/13 i$.

Passando alle coordinate polari, si ha $rho^3 e^(3i theta)= 1/13 e^(ipi (3/2+2k))$.
Quindi $rho= root3(1/13)$ e $3theta= 3/2 pi +2k pi => theta= pi/2 +2/3 k pi$, con $k in {0,1,2}$.

[del_ta]

Ok,infatti così è giusto, potresti spiegarmi perché l'argomento di $ -(1/13)i $ è $ 3/2pi $

[Gi81]

Non riesci a "visualizzarlo"? L'argomento di $-i$ è $3/2pi$ (e l'argomento di $i$ è $pi/2$).

[del_ta]

Ho cercato un po' e ho capito, praticamente io consideravo l'argomento definito in $ (-pi ,+pi ] $

[Gi81]

Ah, ok. Allora in tal caso $text{Arg}(-i) = - pi/2$.

[del_ta]

Grazie mille!!