Numeri complessi!
Salve a tutti!
Sto provando a fare esercizi sui numeri complessi, ma mi sono bloccato.
Riesco a risolvere i complessi in forma "base"(se si può chiamare così), cioè del tipo \(z^n = w\):
ad esempio --> \(z ^3 = 1 + i\)
Ma mi trovo a dover risolvere cose più complicate come questa:
\((z−2)^3 = −1\)
Diciamo che non so come comportarmi se c'è un coefficiente messo vicino a z come in questo caso.
Qualcuno mi può dare una mano?
Sto provando a fare esercizi sui numeri complessi, ma mi sono bloccato.
Riesco a risolvere i complessi in forma "base"(se si può chiamare così), cioè del tipo \(z^n = w\):
ad esempio --> \(z ^3 = 1 + i\)
Ma mi trovo a dover risolvere cose più complicate come questa:
\((z−2)^3 = −1\)
Diciamo che non so come comportarmi se c'è un coefficiente messo vicino a z come in questo caso.
Qualcuno mi può dare una mano?
Risposte
Ti conviene porre $w=z-2$ da cui $w^3 = - 1 $ e sei tornato nei binari normali
Mmm ok! 
E' che non riesco a capire
il mio prof guarda che soluzione ha pubblicato 
:
Si ha che \(|−1| = 1\), quindi −1 = e^iπ
zk = 2 + e^ iπ(1+2k/3), k = 0,1,2
Ossia
• \(z0 = 2 + cos(π/3) + isin(π/3) = (5 + i√3)/2 \)
• \(z1 = 2 + cos(π) + isin(π) = 1 \)
• \(z2 = 2 + cos(5π/3) + isin(5π/3)) = (5−i√3)/2\)
E' che non riesco a capire
il mio prof guarda che soluzione ha pubblicato :Si ha che \(|−1| = 1\), quindi −1 = e^iπ
zk = 2 + e^ iπ(1+2k/3), k = 0,1,2
Ossia
• \(z0 = 2 + cos(π/3) + isin(π/3) = (5 + i√3)/2 \)
• \(z1 = 2 + cos(π) + isin(π) = 1 \)
• \(z2 = 2 + cos(5π/3) + isin(5π/3)) = (5−i√3)/2\)
Fa quel che ho detto io sopra un po' meno palese.
E' pacifico che $ -1 =e^(ipi) $ ok ?
quindi deve trovare le radici terze di $ -1 = e^(ipi) $ ; però poi ai valori che trova per queste radici terze, per determinare i valori $ z $ deve aggiungere 2 in quanto $z=2+ $ radici terze di $-1 $ le quali radici terze sono $e^(ipi*(1+2k)/3)$
E' pacifico che $ -1 =e^(ipi) $ ok ?
quindi deve trovare le radici terze di $ -1 = e^(ipi) $ ; però poi ai valori che trova per queste radici terze, per determinare i valori $ z $ deve aggiungere 2 in quanto $z=2+ $ radici terze di $-1 $ le quali radici terze sono $e^(ipi*(1+2k)/3)$
Ehm perdonami ma ho fatto il classico! 
Mi sfugge questa cosa di −1=e^iπ
Per il resto, ho capito il ragionamento!
Mi sfugge questa cosa di −1=e^iπ
Per il resto, ho capito il ragionamento!
$e^(ipi) = cos(pi)+isen(pi)= -1+0=-1 $ avendo utilizzato la formula di Eulero $e^(itheta)= cos theta +i sen theta $.
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