Numeri complessi

[ezio1400]

Facendo l'esercizio svolto $ z^4 + 9 $ mi ritrovo ad avere il modulo $ rho = sqrt(3) $ e fin qui tutto apposto. Poi mi dice che l'angolo $ vartheta = (pi + 2kpi)/4 $ ma non capisco il perchè. Infatti io procedo in questo modo

$ rho^4(cos4vartheta+isen4vartheta)=-9 $

quindi

$ rho^4(cos4vartheta+isen4vartheta)=9(cospi+isenpi) $

faccio il sistema

$ { ( rho=sqrt(3) ),( cos4vartheta=cospi ),( sen4vartheta=senpi ):} $

divido membro a membro

$ { ( rho=sqrt(3) ),( (sen4vartheta)/(cos4vartheta)= (senpi)/(cospi) ):} $

ho quindi

$ tan 4vartheta=tanpi $

sapendo che il periodo della tangente è $ tanx=(x+kpi) $

ottengo

$ 4vartheta=pi+kpi $

infine

$ vartheta= (pi+kpi)/4 $

Qualcuno mi dice dove sbaglio?

[dan952]

Risolvendo l'equazione trigonometrica $\tan 4\phi=0$ è come se risolvessi $\cos 4\phi=\pm1$ ma a noi non interessa quella con 1 ma solo quella con -1, quindi hai sbagliato a risolvere l'equazione trigonometrica con la tangente così hai trovato le soluzioni di $z^4 \pm9=0$.

[ezio1400]

"dan95":Risolvendo l'equazione trigonometrica $\tan 4\phi=0$ è come se risolvessi $\cos 4\phi=\pm1$ ma a noi non interessa quella con 1 ma solo quella con -1, quindi hai sbagliato a risolvere l'equazione trigonometrica con la tangente così hai trovato le soluzioni di $z^4 \pm9=0$.

Scusa ma non sono riuscito a capire il concetto che cerchi di trasmettermi, forse ho delle lacune in trigonometria che non mi permettono di riuscire ad apprendere quello che tu hai scritto.
Potresti spiegarti meglio?

[dan952]

Cercherò di essere più chiaro.

Quando si annulla la $\tan \vartheta$ ? Quando $\sin \vartheta=0$ , e quindi $\cos\vartheta=\pm1$, da quello che hai detto

"ezio1400":
faccio il sistema

$ { ( rho=sqrt(3) ),( cos4vartheta=cospi ),( sen4vartheta=senpi ):} $

(Che è giusto) hai posto $\cos4\vartheta=-1$, quindi sono le soluzioni di questa che ci interessano e non quelle di $\cos4\vartheta=1$ che sono diverse, risolvendo (e qui è sbagliato) l'equazione $\tan \vartheta=0$ ti sei trovato le soluzioni di tutte e due le equazioni.

[21zuclo]

poi $ z^4+9=0\to z^4=-9 $

come da teorema..
PER TROVARE LE RADICI si ha la seguente formula
sia $ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) $

la formula per trovare le radici è $ \rho^(1/n)(\cos((\theta+2k\pi)/(n))+i\sin((\theta+2kpi)/(n))) $

con $ k=0,1,......,n-1 $

[ezio1400]

"dan95":Cercherò di essere più chiaro.

Quando si annulla la $ \tan \vartheta $ ? Quando $ \sin \vartheta=0 $.

Si ma io nel sistema quando ho scritto $ tan4vartheta=tanpi $ non ho considerato $ tanpi=0 $ sennò mi sarei trovato che $ vartheta=0/4 $. Come ho fatto io invece è uscito $ vartheta=(pi+kpi)/4 $ , anche se come già detto $ vartheta=(pi+2kpi)/4 $ ( risultato che non mi torna e non so come arrivarci )

[ezio1400]

"21zuclo":poi $ z^4+9=0\to z^4=-9 $

come da teorema..
PER TROVARE LE RADICI si ha la seguente formula
sia $ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) $

la formula per trovare le radici è $ \rho^(1/n)(\cos((\theta+2k\pi)/(n))+i\sin((\theta+2kpi)/(n))) $

con $ k=0,1,......,n-1 $

La formula di de moivre è cosi:

$ \rho^(1/n)(\cos(\theta/n)+i\sin(\theta/n)) $ quindi perchè se trovo $ vartheta $ attraverso la tangente dovrei avere un periodo di $ 2kpi $ quando è di $ kpi $

[stormy1]

come ti è già stato detto,devi trovare gli angoli $theta$ tali che che
$cos4theta=-1$
$sen4theta=0$
gli angoli sono del tipo $pi+2kpi$
quindi $4theta=pi +2kpi$,da cui la tesi

edit : l'equazione $tgz=0$ non è equivalente al sistema $cosz=-1;senz=0$

[ezio1400]

Credo di avere finalmente capito! Ora capisco quando avete detto che cosideravo $ cos=+-1 $ . Cosi facendo consideravo gli angoli $ pi $ e $ 2pi $ . Dato che quando abbiamo $ tan=pi $ significa che il $ cos=-1 $ e quindi tutti gli angoli $ pi+2kpi $.

[21zuclo]

"ezio1400":

La formula di de moivre è cosi:

$ \rho^(1/n)(\cos(\theta/n)+i\sin(\theta/n)) $ quindi perchè se trovo $ vartheta $ attraverso la tangente dovrei avere un periodo di $ 2kpi $ quando è di $ kpi $

Ehm stai facendo un po' di confusione (secondo me)

La formula di De Moivre è per trovare le potenze
Sia $z$ un numero complesso non nullo avente forma trigonometrica $ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) $
$ \forall n\in \mathbb{N} $ si ha $ z^n=\rho^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)) $

Per trovare le radici (ti scrivo la definizione)
Sia $z$ un numero complesso. Sia $n$ un intero positivo.
Un numero complesso $\omega$ si dice radice n-esima di z se $\omega^n=z$

Come nel tuo caso.. $z^4=-9$

e per trovare le radici è come ti ho scritto sopra.. cioè dalla formula
$ \rho^(1/n)(\cos((\theta+2k\pi)/(n))+i\sin((\theta+2k\pi)/(n))) $

con $ k=0,1,...,n-1 $