Numeri Complessi

[CIN_DIN]

Ciao a tutti,
vorrei un chiarimento riguardo i numeri complessi. L'argomento Arg(z) di un numero complesso è:
Arg(z)= {arctan(Y/X) se x > 0 (I IV quadrante)
TT/2 se x = 0; y > 0 (asse delle y positive)
-TT/2 se x = 0; y < 0 (asse delle y negative)
arctan(Y/X) + TT se x < 0; y > 0 (II quadrante)
arctan(Y/X) - TT se x < 0; y < 0(III quadrante)
}
in virtù di cosa si aggiunge e sottrae -TT +TT(qual è la motivazione matematica) ? perchè per x= 0; y >0 e x = 0; y <0 si ha TT/2 e -TT/2?

[gio73]

Ciao CIN_DIN e benvenuta/o sul forum,
puoi cambiare il titolo in tutto minuscolo? Il maiuscolo viene interpretato come un urlo e non è necessario, usa il tasto modifica in alto a destra.
Ti invito inoltre, se non l'avessi già fatto a leggere il regolamento e le spiegazioni per inserire le formule che trovi nel box rosa in alto. L'uso dei codici diventa obbligatorio dopo il trentesimo messaggio, ma ti consiglio di provare a riscrivere il tuo messaggio: se gli utenti possono leggere senza fatica facilmente lo faranno e risponderanno, diversamente potrebbero ignorare il tuo topic e passare ad un altro.

[Riccardo Desimini]

"CIN_DIN":L'argomento Arg(z) di un numero complesso è:
Arg(z)={arctan(Y/X) se x > 0 (I IV quadrante)
TT/2 se x = 0; y > 0 (asse delle y positive)
-TT/2 se x = 0; y < 0 (asse delle y negative)
arctan(Y/X) + TT se x < 0; y > 0 (II quadrante)
arctan(Y/X) - TT se x < 0; y < 0(III quadrante)
}
in virtù di cosa si aggiunge e sottrae -TT +TT(qual è la motivazione matematica) ? perchè per x= 0; y >0 e x = 0; y <0 si ha TT/2 e -TT/2?

La funzione \( \arctan \) è, come sai, la funzione inversa della funzione \( \tan \). Tale nozione ha senso solo se \( \tan \) è invertibile, cosa che non è vera se consideri l'intero dominio di \( \tan \). Quel che si fa allora è prendere una restrizione di \( \tan \) in modo che sia invertibile, cioè si considera il sottoinsieme \( \left ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ) \) del suo insieme di definizione.

In definitiva, \( \arctan \) non riesce a descrivere gli angoli che sono al di fuori di questo intervallo.

Per questo motivo, se voglio un angolo ad esempio sul secondo quadrante, ho bisogno di apportare una "correzione", in modo da poter descrivere anche gli angoli del secondo e del terzo quadrante.

I valori \( \pm \frac{\pi}{2} \) si possono interpretare, alla luce dei discorsi fatti sopra, come valori limite di \( \arctan \); del resto, se \( y \ne 0 \), si sa che
\[ \lim_{x \to 0^+} \arctan \frac{y}{x} = \pm \frac{\pi}{2} \]
a seconda che sia \( y > 0 \) o \( y < 0 \).

Se invece \( x \to 0^- \), la definizione di \( \arg \) è quella "corretta", cioè
\[ \lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{y}{x} \pm \pi = \pm \frac{\pi}{2} \]
dove i segni \( \pm \) si scelgono a seconda che sia \( y > 0 \) o \( y < 0 \).

[CIN_DIN]

Grazie !