Numeri complessi

[61u53pp3]

ho col sostituire (x-iy)^4=x^2+y^2 ma non riesco a risolverla...aiutatemi per favore

[Quinzio]

La prima cosa che uno dovrebbe notare è che l'equazione è valida per $z=0$.

Oltre a ciò bisogna passare alla forma esponenziale dei numeri complessi e al loro modulo, cioè:

$|z|=|e^(\rho+i\theta)|=e^(\rho)$.

Quindi se prendiamo i moduli di $(\barz)^4=|z|^2$
abbiamo

$|z|^4=|z|^2$

che è verificata per $z=1, z=0$

A questo punto l'equazione diventa:

$\barz^4=1$, le cui radici sono (e' molto semplice) ${1,-1,i,-i}$

[Zero87]

EDIT (prima di cominciare)
Facendo l'anteprima ho visto la risposta di Quinzio... che è megio della mia ma, d'altro canto, stavo scrivendo da mezz'ora quindi posto ugualmente.

"61u53pp3":ho col sostituire (x-iy)^4=x^2+y^2 ma non riesco a risolverla...aiutatemi per favore

Pure io farei così.

... Ma prima penserei ad abbassare il grado complessivo dato che ci sono.

$(\bar{z})^4=|z|^2$
lo trasformo in
$(\bar{z})^4-|z|^2=0$
cioè
$(\bar{z})^2-|z|)((\bar{z})^2+|z|)=0$,
nel quale ora si tratta di dover risolvere due equazioni ma infinitamente più facili e puoi applicare il metodo.

Consideriamo, ad es., la prima, cioè
$(\bar{z})^2-|z|=0$
ponendo $z=x+iy$ abbiamo
$(x-iy)^2-\sqrt(x^2+y^2)=0$.
Applicando, dunque, il principio di uguaglianza tra complessi - cioè il fatto che due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali parte reale e immaginaria rispettivamente - abbiamo il sistemuccio
${ (x^2+y^2=\sqrt{x^2+y^2}),(-2xy=0):}$
per cui dalla seconda si deduce che o $x$ o $y$ è nullo (o entrambe). Quindi 3 casi
1. $x=0$
${ (y^2=\sqrt{y^2}),(x=0):}$
da risolvere (ricordando che $\sqrt(y^2)=|y|$). La soluzione è, dunque, $z=x$ dove $x$ è quella che troviamo dal sistema.
2. $y=0$
${ (x^2=\sqrt{x^2}),(y=0):}$
idem sopra. La soluzione sarà $z=iy$ dove $y$ è quella che troviamo dal sistema.
3.
Se $x$ e $y$ sono entrambe nulle è soddisfatta anche l'equazione sopra quindi $z=0$ è soluzione


Tuttavia - for advance users, quindi bambini non fatelo a casa - ci si poteva arrivare anche per "aguzzare la vista". Prendendo la prima delle due equazioni da risolvere sfruttando la legge di annullamento del prodotto, cioè
$(\bar{z})^2-|z|=0$, la vedo come
$(\bar{z})^2=|z|$
da cui deduco che siccome il secondo membro, per definizione di modulo, è un numero reale - non negativo, per giunta! -, allora anche il primo deve esserlo.
Ora, prendendo un qualsiasi numero complesso $z=x+iy$ ho che, elevandolo al quadrato, ottengo
$z^2=x^2+ixy+y^2$
che è reale solo se $ixy=0$ cioè solo se (almeno) una tra $x$ e $y$ è nulla ovvero se il numero è puramente reale o puramente immaginario.
Le restanti conclusioni sono analoghe a quanto detto.