Numeri complesi
Se [tex]\displaystyle{a,b,c\in \mathbb{C},~|a|=|b|=|c|=1}[/tex] dimostrate che
[tex]\displaystyle{\sqrt{|a+b-c|}+\sqrt{|b+c-a|}+\sqrt{|c+a-b|}\leq 3\sqrt{2}.}[/tex]
[tex]\displaystyle{\sqrt{|a+b-c|}+\sqrt{|b+c-a|}+\sqrt{|c+a-b|}\leq 3\sqrt{2}.}[/tex]
Risposte
Ciao prof,
ho riflettuto sul tuo quesito e fatto qualche conto di alcuni casi particolari, giusto per farmi un'idea.
Ho immaginato i tre numeri complessi come punti appartenenti ad una circonferenza di raggio unitario con il centro coincidente con l'intersezione dell'asse reale con l'asse immaginario e ho pensato a come dovrebbero essere disposti per massimizzare la somma delle radici che hai scritto, ma non ho avuto alcuna illuminazione. E' una strada fertile o è meglio cambiare punto di vista?
ho riflettuto sul tuo quesito e fatto qualche conto di alcuni casi particolari, giusto per farmi un'idea.
Ho immaginato i tre numeri complessi come punti appartenenti ad una circonferenza di raggio unitario con il centro coincidente con l'intersezione dell'asse reale con l'asse immaginario e ho pensato a come dovrebbero essere disposti per massimizzare la somma delle radici che hai scritto, ma non ho avuto alcuna illuminazione. E' una strada fertile o è meglio cambiare punto di vista?
buongiorno Gio
Grazie del'interesse per questo esersizio .E meglio di guardare da un punto di vista usando l ' Algebra
e una disugualianza famosa.
saluti
Grazie del'interesse per questo esersizio .E meglio di guardare da un punto di vista usando l ' Algebra
e una disugualianza famosa.
saluti
Ciao Dannys, grazie per aver postato un problema carino 
Tento! Dati due qualsiasi numeri complessi rappresentati sulla circonferenza unitaria (supponiamo a e b), il modulo della loro somma è sempre minore o uguale a 2 (facendo il disegno, si giustifica con la proprietà del triangolo per cui un lato è sempre minore della somma degli altri due).
Quindi $sqrt(|a + b|) < sqrt(2)$.
Ho anche |a + b - c| < |a + b|
Quindi $sqrt(|a + b - c|) < sqrt(2)$.
Ma lo stesso ragionamento vale anche combinando diversamente i tre numeri:
$sqrt(|a + c - b| < |a + c|)$
$sqrt(|b + c - a| < |b + c|)$
Quindi, le 3 disuguaglianze sommate membro a membro risultano $<= 3sqrt(2)$.
Tento! Dati due qualsiasi numeri complessi rappresentati sulla circonferenza unitaria (supponiamo a e b), il modulo della loro somma è sempre minore o uguale a 2 (facendo il disegno, si giustifica con la proprietà del triangolo per cui un lato è sempre minore della somma degli altri due).
Quindi $sqrt(|a + b|) < sqrt(2)$.
Ho anche |a + b - c| < |a + b|
Quindi $sqrt(|a + b - c|) < sqrt(2)$.
Ma lo stesso ragionamento vale anche combinando diversamente i tre numeri:
$sqrt(|a + c - b| < |a + c|)$
$sqrt(|b + c - a| < |b + c|)$
Quindi, le 3 disuguaglianze sommate membro a membro risultano $<= 3sqrt(2)$.
"jitter":
Ho anche |a + b - c| < |a + b|
Ciao jitter, anch'io avevo risposto ieri, ma alla fine ho cancellato la risposta - magari a qualcuno non sarà sfuggita!
- servendomi di una disuguaglianza simile, cioè $|\pm a \pm b \pm c|\le |a|+|b|+|c|$ che non m'ha portato da nessuna parte.Comunque, se poni $a=1$, $b=1$ e $c=-1$ hanno tutti modulo 1 ma $|a+b-c|=|3|=3$ e non vale la seconda maggiorazione.
Infatti mi chiedevo perché l'avessi cancellata ... non ho avuto tempo per studiarla ... 
"axpgn":
Infatti mi chiedevo perché l'avessi cancellata ... non ho avuto tempo per studiarla ...
Cancellata... perché non riporta:
$"tutto" \le 3 \sqrt(|a|+|b|+|c|)= 3 \sqrt(3)$
tutt'altro che minore di $3\sqrt(2)$. Questo è il riassunto di quello che avevo scritto.
"Zero87":
Comunque, se poni $ a=1 $, $ b=1 $ e $ c=-1 $ hanno tutti modulo 1 ma $ |a+b-c|=|3|=3 $ e non vale la seconda maggiorazione.
Ahi, è vero!
E' soltanto una mia congettura e non so se porta da qualche parte, ma ho la sensazione che la somma di quelle tre radici assuma valore minimo (pari a $3$) quando i tre numeri $a,b,c$ sono coincidenti e sia invece massima (appunto $3 sqrt(2)$) quando i tre numeri sono ai vertici di un triangolo equilatero nel piano di Gauss.
allora consideriamo i tre seguenti numeri
$a=-1$
$b=1/2+sqrt3/2i$
$c=1/2-sqrt3/2i$
sono effettivamente disposti in modo da formare un triangolo equilatero e non dovrebbero metterci in troppa difficoltà con i conti.
non so se ho svolto male i calcoli ma mi viene $2sqrt2$
$a=-1$
$b=1/2+sqrt3/2i$
$c=1/2-sqrt3/2i$
sono effettivamente disposti in modo da formare un triangolo equilatero e non dovrebbero metterci in troppa difficoltà con i conti.
non so se ho svolto male i calcoli ma mi viene $2sqrt2$
Con:
$|a+b-c|=|-1+isqrt3|=2$,
$|a-b+c|=|-1-isqrt3|=2$,
$|-a+b+c|=|1+1/2+1/2|=2$.
Se, ovviamente, non sto sbagliando io.
"gio73":hai:
$a=-1$
$b=1/2+sqrt3/2i$
$c=1/2-sqrt3/2i$
$|a+b-c|=|-1+isqrt3|=2$,
$|a-b+c|=|-1-isqrt3|=2$,
$|-a+b+c|=|1+1/2+1/2|=2$.
Se, ovviamente, non sto sbagliando io.
right Pallit
I did a mistake
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