[Num complessi] Risoluzione equazione
Salve a tutti. Ho iniziato da pochissimo il corso di Analisi 1 e, facendo esercizi, ho trovato questo (ovviamente senza svolgimento il risultato alla fine 
) che non so come risolvere. Ovviamente ho provato in più maniere, ma non riesco a trovare diciamo "la strada".
Bisogna risolvere la seguente equazione:
$ z|z|-2z-i+1=0 $ con $ z \in \mathbb{C} $ (ovviamente..)
Ho provato mettendo z in forma trigonometrica:
$ \rho e^{i \theta} \cdot \rho - 2\rho e^{i \theta}=i-1 $
poiché $ i-1=\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} $
$ \rho e^{i \theta} \cdot \rho - 2\rho e^{i \theta}=\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} $
$ (\rho^2-2\rho)e^{i\theta}=\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} $
Quindi:
$ \rho^2-2\rho=\sqrt{2} \Leftrightarrow \rho^2-2\rho-\sqrt{2}=0 $
Poi di qui le soluzione sono alquanto elaborate e non mi portano a niente di ciò che il libro porta come risultato. Operando in forma algebrica più o meno mi blocco allo stesso punto.
Spero che mi darete una mano, anche solo dicendomi come devo operare.
Il risultato che il mio libro porta è: $ 1+\sqrt{2},-1 $
Grazie.
) che non so come risolvere. Ovviamente ho provato in più maniere, ma non riesco a trovare diciamo "la strada".Bisogna risolvere la seguente equazione:
$ z|z|-2z-i+1=0 $ con $ z \in \mathbb{C} $ (ovviamente..)
Ho provato mettendo z in forma trigonometrica:
$ \rho e^{i \theta} \cdot \rho - 2\rho e^{i \theta}=i-1 $
poiché $ i-1=\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} $
$ \rho e^{i \theta} \cdot \rho - 2\rho e^{i \theta}=\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} $
$ (\rho^2-2\rho)e^{i\theta}=\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} $
Quindi:
$ \rho^2-2\rho=\sqrt{2} \Leftrightarrow \rho^2-2\rho-\sqrt{2}=0 $
Poi di qui le soluzione sono alquanto elaborate e non mi portano a niente di ciò che il libro porta come risultato. Operando in forma algebrica più o meno mi blocco allo stesso punto.
Spero che mi darete una mano, anche solo dicendomi come devo operare.
Il risultato che il mio libro porta è: $ 1+\sqrt{2},-1 $
Grazie.
Risposte
Ma $1+sqrt(2)$ e $-1$ cosa sono?
Di certo non le soluzioni dell’equazione...
Ad ogni modo, i passaggi sono corretti.
Prova a portare a termine i conti.
Di certo non le soluzioni dell’equazione...
Ad ogni modo, i passaggi sono corretti.
Prova a portare a termine i conti.
Ciao LucaDeVita,
Sicuramente ha ragione gugo82, se quello che hai scritto è veramente il risultato riportato dal tuo libro è senz'altro un errore di stampa. Per convincertene facilmente, prova a sostituire la più semplice delle due $z = - 1 $ nell'equazione proposta e ti accorgerai subito che ciò che si ottiene è falso.
D'altronde l'equazione proposta ha una sola soluzione. Infatti, dalla corretta equazione che tu stesso hai ottenuto
$ \rho^2 - 2\rho - \sqrt{2} = 0$
si trova subito $\rho_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}} $ e siccome $\rho $ deve essere maggiore o al più uguale a zero l'unica soluzione accettabile è $\rho_{1} = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}} $
Dato poi che, sempre dall'equazione che tu stesso hai scritto, si ottiene $\theta = \frac{3\pi}{4} $ l'unica soluzione dell'equazione proposta è la seguente:
$ z_1 = \rho_1 e^{i \frac{3\pi}{4}} = (1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}) [cos(\frac{3\pi}{4}) + i sin(\frac{3\pi}{4})] = $
$ = (1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}) [- 1/\sqrt{2} + i/\sqrt{2}] = - \frac{(1 - i)(1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}) }{\sqrt{2}} $
"LucaDeVita":
Il risultato che il mio libro porta è: $1+ \sqrt{2} $,$−1$
Sicuramente ha ragione gugo82, se quello che hai scritto è veramente il risultato riportato dal tuo libro è senz'altro un errore di stampa. Per convincertene facilmente, prova a sostituire la più semplice delle due $z = - 1 $ nell'equazione proposta e ti accorgerai subito che ciò che si ottiene è falso.
D'altronde l'equazione proposta ha una sola soluzione. Infatti, dalla corretta equazione che tu stesso hai ottenuto
$ \rho^2 - 2\rho - \sqrt{2} = 0$
si trova subito $\rho_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}} $ e siccome $\rho $ deve essere maggiore o al più uguale a zero l'unica soluzione accettabile è $\rho_{1} = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}} $
Dato poi che, sempre dall'equazione che tu stesso hai scritto, si ottiene $\theta = \frac{3\pi}{4} $ l'unica soluzione dell'equazione proposta è la seguente:
$ z_1 = \rho_1 e^{i \frac{3\pi}{4}} = (1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}) [cos(\frac{3\pi}{4}) + i sin(\frac{3\pi}{4})] = $
$ = (1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}) [- 1/\sqrt{2} + i/\sqrt{2}] = - \frac{(1 - i)(1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}) }{\sqrt{2}} $
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