Num. Complessi
ragazzi scusate come si trovano i numeri complessi tali che:
$(z+3)^4=2(1+i)^4$ ? io ho uguagliato membro a membro diciamo,
ho fatto $a+3+ib=2^(1/4)(1+i)$ è sbagliato?
$(z+3)^4=2(1+i)^4$ ? io ho uguagliato membro a membro diciamo,
ho fatto $a+3+ib=2^(1/4)(1+i)$ è sbagliato?
Risposte
Sì che hai sbagliato: le equazioni algebriche di grado $n$ sul campo complesso hanno esattamente $n$ radici. Quindi direi che dovresti avere 4 soluzioni.
Ok. ma non ho capito come le trovo..nel senso io so trovarle se sono del tipo $z^\alpha=a+ib$ ma in questo caso? ho letto su altri post che devo isate de moivre ma non ho capito come si usa. ho posto $z+3=w$ mi sono calcolato $\rho=2^(1/4)$ $\theta=\pi/4$ però da qui non so andare avanti
Poni [tex]$y=2(1+i)^4$[/tex].
Passando in forma trigonometrica sai che modulo e argomento valgono rispettivamente [tex]$r=8, \, \theta=\pi$[/tex].
Se vuoi calcolare [tex]$w_k=y^{\frac{1}{4}}$[/tex], usando De Moivre hai che il modulo e l'argomento di w valgono rispettivamente:
[tex]$\rho=r^{\frac{1}{4}}= 8^{\frac{1}{4}}$[/tex]
[tex]$\varphi_k=\frac{\theta+2k\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$[/tex] per [tex]$k=1,2,3,4$[/tex].
Perciò, hai trovato le quattro radici:[tex]$w_k=\rho(\cos\varphi_k+i \sin\varphi_k)$[/tex].
Per ottenere z ovviamente basta traslare di nuovo.
EDIT: Ho corretto.
Passando in forma trigonometrica sai che modulo e argomento valgono rispettivamente [tex]$r=8, \, \theta=\pi$[/tex].
Se vuoi calcolare [tex]$w_k=y^{\frac{1}{4}}$[/tex], usando De Moivre hai che il modulo e l'argomento di w valgono rispettivamente:
[tex]$\rho=r^{\frac{1}{4}}= 8^{\frac{1}{4}}$[/tex]
[tex]$\varphi_k=\frac{\theta+2k\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$[/tex] per [tex]$k=1,2,3,4$[/tex].
Perciò, hai trovato le quattro radici:[tex]$w_k=\rho(\cos\varphi_k+i \sin\varphi_k)$[/tex].
Per ottenere z ovviamente basta traslare di nuovo.
EDIT: Ho corretto.
ma quando vado a scrivere in forma trigonometrica non dovrei porre $z=2^(1/4)(cos(4(\pi/4+2kpi))+isin(4(\pi/4+2kpi)))$?
Non ho ben capito cosa hai fatto nelle parentesi. Perché moltiplichi per $4$?
per la formula d de moivre..l'esponente non va a moltiplicare gli argomenti delle funzioni seno e coseno?
No, è proprio la frazione che ti dà 4 valori diversi. Altrimenti hai un valore solo per la periodicità. Inoltre, tu stai moltiplicando per [tex]$\theta+2k\pi$[/tex] non per [tex]$\frac{\theta+2k\pi}{4}$[/tex]. (Hai che [tex]$\theta=\frac{\pi}{4}$[/tex])
Leggi bene la formula di De Moivre:
[tex]$\alpha=r(\cos \theta + i \sin \theta)$[/tex].
Allora, [tex]$z^n=\alpha \, \Leftrightarrow \, z_k=r^{\frac{1}{n}}\bigg(\cos{\frac{\theta+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\theta+2k\pi}{n}}\bigg), \, k=0,\dots,n-1$[/tex].
Leggi bene la formula di De Moivre:
[tex]$\alpha=r(\cos \theta + i \sin \theta)$[/tex].
Allora, [tex]$z^n=\alpha \, \Leftrightarrow \, z_k=r^{\frac{1}{n}}\bigg(\cos{\frac{\theta+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\theta+2k\pi}{n}}\bigg), \, k=0,\dots,n-1$[/tex].
ok ma cosa cambia il fatto che $(1+i)$ sia elevato a $4$? non abbiamo ragionato come se non ci fosse quell'esponente?
Infatti, l'esponente me l'ero scordato scusami. 
Ora correggo su.
Ora correggo su.
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