Nucleo e parte interna

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sul Kolmogorov-Fomin la definizione di nucleo di un sottoinsieme $E$ di uno spazio lineare $L$ come l'insieme di tutti i suoi punti $x$ tali che per ogni $y\inL$ esista un numero positivo $\epsilon(y)=\epsilon$ per cui, per \(|t|<\varepsilon\), $x+ty\in E$, cioè\[J(E)=\{x\in E:\forall y\in L\quad \exists \varepsilon(y):( |t|<\varepsilon(y)\Rightarrow x+ty\in E)\}\]
Se su $L$ si definisce una norma e la (topologia indotta dalla) metrica indotta da tale norma, direi che la parte interna \(\text{Int}(E)\) di $E$ soddisfa sempre l'inclusione \(\text{Int}(E)\subset J(E)\), anche se non vale necessariamente l'inclusione opposta: giusto?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[billyballo2123]

Esatto! Se ad esempio consideri come spazio lineare $L=\mathbb{R}^2$ e il suo sottoinsieme
\[
E=\Big\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y\leq \sqrt{|x|}\Big\}\cup( \{0\}\times [0,1])
\]
(notare che $(0,0)\in E$), allora l'origine sta in $J(E)$ ma non in $Int(E)$. Infatti dato un qualunque punto $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$, si ha che:

1) se $(x_0,y_0)=(0,0)$, allora per ogni $t\in \mathbb{R}$ si ha che $t(x_0,y_0)=(0,0)\in E$;
2) se $y_0=0$, allora per ogni $t\in \mathbb{R}$ si ha che $t(x_0,y_0)=(tx_0,0)\in E$;
3) se $x_0=0$, allora ponendo $\varepsilon=1/|y_0|$ e $|t|<\varepsilon$ si ha che o $ty_0$ è negativo (e quindi $t(x_0,y_0)\in E$) oppure $0\leqty_0\leq|ty_0|<|y_0|/|y_0|=1$ (e dunque $t(x_0,y_0)\in (\{0\}\times [0,1])\subseteq E$);
4) se $x_0,y_0\ne 0$, allora ponendo $\varepsilon=|x_0|/|y_0|^2$ (che è positivo) e $|t|<\varepsilon$ si ha che $|y_0|<\sqrt{|x_0|/|t|}$ e di conseguenza
\[
ty_0\leq |ty_0|<|t|\sqrt{|x_0|/|t|}=\sqrt{|tx_0|},
\]
ovvero $t(x_0,y_0)\in E$.
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Se ora supponessimo per assurdo che esistesse $\varepsilon>0$ tale che $B((0,0),\varepsilon)\subseteq E$ (usando la norma $||\cdot||_1$ che è equivalente a qualunque altra norma su $\mathbb{R}^2$), allora dati $y=\varepsilon$/$2$ e un punto $0\sqrt(x)=sqrt(|x|)$ (dato che $x
Un caso particolare (credo l'unico) in cui $J(E)=Int(E)$ per ogni $E\subseteq L$ è $L=\mathbb{R}$.

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie!!!

[DavideGenova1]

Ho appena trovato sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale (p.177 dell'ed. Editori Riuniti), con mia grande sorpresa, che si può mostrare che in uno spazio normato il nucleo di un insieme coincide evidentemente con la collezione dei suoi punti interni. Oltretutto quest'affermazione viene usata per dimostrare un importante corollario al teorema di Hahn-Banach in spazi normati e addirittura a spazi localmente convessi non necessariamente normati! Preciso che tale affermazione viene dopo aver richiamato la definizione di corpo convesso come sottoinsieme convesso $C$ con nucleo \(J(C)\) non vuoto.
Sono riuscito infatti a trovare dimostrazione del fatto che per un sottoinsieme convesso $C$ di uno spazio normato vale \(\text{Int}(C)=J(C)\).

Ho trovato anche scritto che vale in generale per qualunque sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico che \(\text{Int}(S)\subset J(S)\) e che se $C$ è convesso \(\text{Int}(C)=J(C)\), ma non riesco a trovarne dimostrazione.
Qualcuno ne conosce una, la più elementare possibile perché di spazi topologici lineari il mio testo, al punto in cui sono, ha enunciato molto e dimostrato poco, sicché non ne so molto, o può indicare dei link?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Grazie a tutti!!!