Nucleo di un operatore lineare
In una dimostrazione mi sono imbattuto in un passaggio che non riesco a capire.
Consideriamo l'operatore lineare e continuo $T:X to Y$, con $X,Y$ spazi di Hilbert. $X$ viene decomposto come somma diretta tra il nucleo di $T$ e l'ortogonale del nucleo. Questo tipo di decomposizione è lecita per il teorema della proiezione, a patto che il nucleo di $T$ sia un sottospazio chiuso di $X$. Ora che sia un sottospazio è chiaro. Mi è meno chiaro invece il fatto che sia chiuso. Se ad esempio il nucleo fosse a dimensione finita, allora sarebbe ovvio, ma questo nessuno me lo garantisce. Come fare a provare che il nucleo di $T$ è chiuso in $X$?
Consideriamo l'operatore lineare e continuo $T:X to Y$, con $X,Y$ spazi di Hilbert. $X$ viene decomposto come somma diretta tra il nucleo di $T$ e l'ortogonale del nucleo. Questo tipo di decomposizione è lecita per il teorema della proiezione, a patto che il nucleo di $T$ sia un sottospazio chiuso di $X$. Ora che sia un sottospazio è chiaro. Mi è meno chiaro invece il fatto che sia chiuso. Se ad esempio il nucleo fosse a dimensione finita, allora sarebbe ovvio, ma questo nessuno me lo garantisce. Come fare a provare che il nucleo di $T$ è chiuso in $X$?
Risposte
Che ne dici di usare la continuità di [tex]T[/tex]?
Se $x_n$ è una successione nel nucleo di $X$ convergente, detto $x$ il limite, risulta $T(x_n) to T(x)$. Ma la successione $T(x_n)$ è costantemente pari al vettore nullo, per cui il suo limite $T(x)$ è anch'esso pari al vettore nullo e allora $x$ appartiene al nucleo.
Così?
Così?
Esatto.
Detto in modo più topologico, [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è aperto in [tex]Y[/tex], quindi [tex]T^{-1}(Y\setminus \{ 0_Y\})[/tex] è aperto in [tex]X[/tex] (continuità); ne viene che [tex]\mathcal{N}(T)=X\setminus T^{-1}(Y\setminus \{ 0_Y\})[/tex] è chiuso in [tex]X[/tex].
Detto in modo più topologico, [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è aperto in [tex]Y[/tex], quindi [tex]T^{-1}(Y\setminus \{ 0_Y\})[/tex] è aperto in [tex]X[/tex] (continuità); ne viene che [tex]\mathcal{N}(T)=X\setminus T^{-1}(Y\setminus \{ 0_Y\})[/tex] è chiuso in [tex]X[/tex].
Come fai a concludere immediatamente che $Y$ privato del vettore nullo è aperto?
Assiomi di separazione. 
Sei in uno spazio metrico, quindi T2 (o di Hausdorff, che dir si voglia) e T1: pertanto per ogni punto [tex]y\in Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] esiste un intorno aperto [tex]U[/tex] di [tex]y[/tex] tale che [tex]0_Y\notin U[/tex] e questo significa [tex]U\subseteq Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex]; perciò ogni punto di [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è interno ed [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è aperto.
Sei in uno spazio metrico, quindi T2 (o di Hausdorff, che dir si voglia) e T1: pertanto per ogni punto [tex]y\in Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] esiste un intorno aperto [tex]U[/tex] di [tex]y[/tex] tale che [tex]0_Y\notin U[/tex] e questo significa [tex]U\subseteq Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex]; perciò ogni punto di [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è interno ed [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è aperto.
Ti ringrazio per la spiegazione dettagliata e approfondita.
Figurati, dovere.
"Gugo82":
Sei in uno spazio metrico, quindi T2 (o di Hausdorff, che dir si voglia) e T1: pertanto per ogni punto [tex]y\in Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] esiste un intorno aperto [tex]U[/tex] di [tex]y[/tex] tale che [tex]0_Y\notin U[/tex] e questo significa [tex]U\subseteq Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex]; perciò ogni punto di [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è interno ed [tex]Y\setminus \{ 0_Y\}[/tex] è aperto.
Per far fruttare un minimo i 6 crediti di topologia dell'anno scorso, faccio notare a Kroldar che vale anche il viceversa, cioè:
[tex]$Y \text{ è uno spazio }T_1 \Leftrightarrow \text{Ogni singleton è chiuso}$[/tex]
Un modo alternativo per definire la proprietà di separazione [tex]$T_1$[/tex], insomma.
Ricordandoti questo, discende immediatamente che [tex]$Y\setminus\{y_0\}[/tex] è aperto.
Ciao!
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