Notazione equazione differenziali primo ordine
Nel mio libro di analisi, nell'introdurre le equazioni differenziali dice che l'equazione differenziale di primo ordine
$ u'(t) = f(t) $
ha come soluzione
$ u(t) = int_(a)^(t) f(s) ds $
Non comprendo il perché usare la funzione integrale e non semplicemente l'integrale indefinito
infatti se pongo
$ int_()^() u'(t) dt=u(t)+c $
e
$ int_()^() f(t) dt=F(t)+c $
ed applico l'integrale definito ad entrambi i membri ottengo
$ u(t)=F(t)-F(a)+u(a) $
e conseiderando che
$ -F(a)+u(a) $
è un valore costante, quindi ottengo una primitiva.
Ok, ci sta, ma perché tutto questo casino quando si poteva esprimere il tutto tramite l'integrale indefinito?
Qualcuno mi illumina?
$ u'(t) = f(t) $
ha come soluzione
$ u(t) = int_(a)^(t) f(s) ds $
Non comprendo il perché usare la funzione integrale e non semplicemente l'integrale indefinito
infatti se pongo
$ int_()^() u'(t) dt=u(t)+c $
e
$ int_()^() f(t) dt=F(t)+c $
ed applico l'integrale definito ad entrambi i membri ottengo
$ u(t)=F(t)-F(a)+u(a) $
e conseiderando che
$ -F(a)+u(a) $
è un valore costante, quindi ottengo una primitiva.
Ok, ci sta, ma perché tutto questo casino quando si poteva esprimere il tutto tramite l'integrale indefinito?
Qualcuno mi illumina?
Risposte
Ciao ThisMan,
Integrale indefinito = funzione integrale + c
cioè integrale indefinito e funzione integrale differiscono per una costante. Alle volte può essere più comodo usare la funzione integrale come in questo caso, ma anche in questo. Poi, detto fra noi, anch'io preferisco usare l'integrale indefinito per le equazioni differenziali...
Integrale indefinito = funzione integrale + c
cioè integrale indefinito e funzione integrale differiscono per una costante. Alle volte può essere più comodo usare la funzione integrale come in questo caso, ma anche in questo. Poi, detto fra noi, anch'io preferisco usare l'integrale indefinito per le equazioni differenziali...
$u'(t) = 1/t$
Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
"Fioravante Patrone":
$ u'(t) = 1/t $
Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
$ ln |t|+c $
"pilloeffe":
Ciao ThisMan,
Integrale indefinito = funzione integrale + c
cioè integrale indefinito e funzione integrale differiscono per una costante. Alle volte può essere più comodo usare la funzione integrale come in questo caso, ma anche in questo. Poi, detto fra noi, anch'io preferisco usare l'integrale indefinito per le equazioni differenziali...
Be', in effetti la derivata non cambia nel punto $x$ al variare di $a$, nella funzione integrale, quindi risulta irrilevante il punto $a$ su cui si sviluppa un estremo di integrazione (al massimo il grafico della funzione integrale, al variare di $a$ "shifta" di una costante, come ben dici), perciò come definizione è abbastanza soddisfacente
In sostanza è per non rendere ambigua la costante arbitraria, giusto? Alla fine la costante diventa quella che ho scritto nel post iniziale. In ogni caso procedendo in questo modo non si vanno a pardere tutta l'infinità di soluzioni possibili dell'equazione differenziale?
Mi viene da pensare che definirla in questo modo è come imporre un problema di cauchy dove $y(a)=0$, no?
"ThisMan":
[quote="Fioravante Patrone"]$ u'(t) = 1/t $
Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
$ ln |t|+c $
[/quote]
Io mi sarei posto alcune domande, di fronte a un quesito così banale.
Sembra che tu non l'abbia fatto, per cui te ne faccio una io: puoi specificare dove è definita l'equazione differenziale e dove sono definite le sue soluzioni?
"Fioravante Patrone":
[quote="ThisMan"][quote="Fioravante Patrone"]$ u'(t) = 1/t $
Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
$ ln |t|+c $
[/quote]
Io mi sarei posto alcune domande, di fronte a un quesito così banale.
Sembra che tu non l'abbia fatto, per cui te ne faccio una io: puoi specificare dove è definita l'equazione differenziale e dove sono definite le sue soluzioni?[/quote]
be', guardando l'equazione mi sembra definita su R, quindi la sua soluzione dovrebbe essere definita in R-->R
No?
"ThisMan":
guardando l'equazione mi sembra definita su $\RR$
ThisMan, riguardala con più attenzione...
"pilloeffe":
[quote="ThisMan"]guardando l'equazione mi sembra definita su $\RR$
ThisMan, riguardala con più attenzione...
[/quote]Adesso entro in crisi
Vediamo, l'equazione è scritta in forma normale, quindi
$ u'=f(t) $
ma in effetti $u'$ è anche una variabile, quindi potrei riscrivere il tutto come
$f(t,u')=0$
Quindi $R^2$?
"Fioravante Patrone":
$u'(t) = 1/t$
Chi sarebbero secondo te (ThisMan) le soluzioni?
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
Magnifica risposta!
(non posso resistere alla tentazione di rimarcare il mio abolizionismo verso il simbolo di integrale indefinito)
Non voglio lasciar cadere questo post, più che altro perché sono curioso...
@ThisMan: dai, non diciamo sciocchezze... Ai miei tempi, per molto meno, una delle frasi del docente che ti stava esaminando poteva essere qualcosa del tipo "Guardi, per me può anche tornare la prossima volta... ", oppure "Si può accomodare...". Giurassico, mi rendo conto, adesso i tempi sono cambiati: però credo che si stia un filino esagerando dall'altra parte, anche se ovviamente riesco a comprenderne perfettamente i motivi.
@Fioravante Patrone:
Non è che non voglio risponderti, è che proprio non ho capito cosa mi chiedi... Ma è senz'altro colpa mia. D'altronde devi aver pazienza, sono solo un "diversamente giovane" ingegnere elettronico appassionato di matematica che si è laureato 20 anni fa e scrive sul forum ad orari assurdi (quando i bimbi dormono): un po' di "ruggine" ci può stare, poi magari certe questioni non sono neanche alla mia portata...
@dissonance:
Oddio, non è che l'integrale indefinito mi sia particolarmente simpatico, anche se in talune circostanze ne apprezzo la comodità, ma che esistesse perfino un "movimento abolizionista" nei suoi confronti onestamente lo ignoravo... Però se le motivazioni mi convincono magari potrei anche entrare a far parte degli adepti del MASII (Movimento Abolizionista Simbolo di Integrale Indefinito).
@ThisMan: dai, non diciamo sciocchezze... Ai miei tempi, per molto meno, una delle frasi del docente che ti stava esaminando poteva essere qualcosa del tipo "Guardi, per me può anche tornare la prossima volta... ", oppure "Si può accomodare...". Giurassico, mi rendo conto, adesso i tempi sono cambiati: però credo che si stia un filino esagerando dall'altra parte, anche se ovviamente riesco a comprenderne perfettamente i motivi.
@Fioravante Patrone:
"Fioravante Patrone":
E, pilloeffe, come ce la sbrighiamo per quanto riguarda "la" costante arbitraria?
Non è che non voglio risponderti, è che proprio non ho capito cosa mi chiedi... Ma è senz'altro colpa mia. D'altronde devi aver pazienza, sono solo un "diversamente giovane" ingegnere elettronico appassionato di matematica che si è laureato 20 anni fa e scrive sul forum ad orari assurdi (quando i bimbi dormono): un po' di "ruggine" ci può stare, poi magari certe questioni non sono neanche alla mia portata...
@dissonance:
"dissonance":
(non posso resistere alla tentazione di rimarcare il mio abolizionismo verso il simbolo di integrale indefinito)
Oddio, non è che l'integrale indefinito mi sia particolarmente simpatico, anche se in talune circostanze ne apprezzo la comodità, ma che esistesse perfino un "movimento abolizionista" nei suoi confronti onestamente lo ignoravo...
Però se le motivazioni mi convincono magari potrei anche entrare a far parte degli adepti del MASII (Movimento Abolizionista Simbolo di Integrale Indefinito).
Vabbè, teniamolo in vita. Ma non subito, non da parte mia, per lo meno. Un po' troppo preso in questo fine settimana, dai soliti "bimbi" a 4 zoccoli...
Non posso andare oltre ad un piccolo cenno, stasera (oggi ho movimentato troppa terra, oltre alle solite cose, e sono un po' stanco).
Il mio esempietto, che pare abbia mandato in crisi ThisMan, voleva accendere i riflettori su un paio di aspetti, tra di loro non sconnessi:
- le soluzioni di una equazione differenziale sono definite su un intervallo
- le primitive di $1/t$ non differiscono tra loro per UNA costante arbitraria (che c'entri il fatto che non è definita su un intervallo?)
Non posso andare oltre ad un piccolo cenno, stasera (oggi ho movimentato troppa terra, oltre alle solite cose, e sono un po' stanco).
Il mio esempietto, che pare abbia mandato in crisi ThisMan, voleva accendere i riflettori su un paio di aspetti, tra di loro non sconnessi:
- le soluzioni di una equazione differenziale sono definite su un intervallo
- le primitive di $1/t$ non differiscono tra loro per UNA costante arbitraria (che c'entri il fatto che non è definita su un intervallo?)
"pilloeffe":
Non voglio lasciar cadere questo post, più che altro perché sono curioso...
@ThisMan: dai, non diciamo sciocchezze... Ai miei tempi, per molto meno, una delle frasi del docente che ti stava esaminando poteva essere qualcosa del tipo "Guardi, per me può anche tornare la prossima volta... ", oppure "Si può accomodare...". Giurassico, mi rendo conto, adesso i tempi sono cambiati: però credo che si stia un filino esagerando dall'altra parte, anche se ovviamente riesco a comprenderne perfettamente i motivi.
Ok, credo di aver compreso l'enorme gaffe che ho fatto, la soluzione è definita, tenendo il valore assoluto, per ogni $ t!= 0 $
Scusate ancora
"Fioravante Patrone":
- le soluzioni di una equazione differenziale sono definite su un intervallo
Considerando che la funzione deve rispettare l'equazione per ogni $t$ appartenente all'insieme in cui è definita la funzione, ha senso come cosa, in quanto c'è un punto in cui la funzione non è definita e quindi $u(t)$ deve essere definita in un intervallo $(0, oo)$ oppure $(-oo, 0)$, giusto?
"Fioravante Patrone":
- le primitive di $ 1/t $ non differiscono tra loro per UNA costante arbitraria (che c'entri il fatto che non è definita su un intervallo?)
Non mi è ben chiaro
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