Notazione di Leibniz e concetto di "differenziale"
Salve a tutti; mi scuso in anticipo se le formule saranno scritte male ma questo è il mio primo post.
La mia domanda riguarda la leggittimità dell'utilizzo della notazione di Leibniz per la derivata (\(f'(x)\)=\(\frac{df}{dx}\)), e il concetto di differenziale. Premetto che sul testo che utilizzo (E. Giusti, Analisi Matematica) il differenziale della funzione f è definito come \(df = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i \); le mie domande sono le seguenti:
1) Se è vero che il "\(dx\)" è solo un simbolo e non ha altri significati matematici, che senso posso dare ai vari \(dx_i\) che compaiono nella definizione di differenziale di cui prima?
2) Come mai, se la notazione di Leibniz è, come viene sempre ripetuto da chi insegna matematica, solo simbolica, e dunque trattare ad esempio "\(df\)" e "\(dx\)" come variabili separate (come spesso si fa in fisica) è sbagliato, spesso facendo così si approda a proposizioni matematicamente corrette?
Faccio un esempio: nella trasformata di Legendre, si parte da una funzione \(f(x,y)\) tale che il suo differenziale sia \(df = u dx + v dy \), e si definisce la funzione generatrice \(g(u,y)=f-ux\); si dimostra quindi che vale \(dg = -x du + v dy\).
Questo risultato si può facilmente ottenere ad esempio nel seguente modo (sbagliato?); si scrive \(\frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx}-\frac{du}{dx} x-\frac{dx}{dx} u\); semplificando il termine \(\frac{dx}{dx}\) e moltiplicando entrambi i membri per \(dx\) si ottiene appunto (ricordando la definizione di \(df\)) \(dg = -x du + v dy\).
Questo è solo uno dei numerosi esempi che mi vengono in mente in cui un uso "errato" della notazione di Leibniz porta a un risultato corretto. Come si spiega ciò?
Grazie a tutti.
La mia domanda riguarda la leggittimità dell'utilizzo della notazione di Leibniz per la derivata (\(f'(x)\)=\(\frac{df}{dx}\)), e il concetto di differenziale. Premetto che sul testo che utilizzo (E. Giusti, Analisi Matematica) il differenziale della funzione f è definito come \(df = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i \); le mie domande sono le seguenti:
1) Se è vero che il "\(dx\)" è solo un simbolo e non ha altri significati matematici, che senso posso dare ai vari \(dx_i\) che compaiono nella definizione di differenziale di cui prima?
2) Come mai, se la notazione di Leibniz è, come viene sempre ripetuto da chi insegna matematica, solo simbolica, e dunque trattare ad esempio "\(df\)" e "\(dx\)" come variabili separate (come spesso si fa in fisica) è sbagliato, spesso facendo così si approda a proposizioni matematicamente corrette?
Faccio un esempio: nella trasformata di Legendre, si parte da una funzione \(f(x,y)\) tale che il suo differenziale sia \(df = u dx + v dy \), e si definisce la funzione generatrice \(g(u,y)=f-ux\); si dimostra quindi che vale \(dg = -x du + v dy\).
Questo risultato si può facilmente ottenere ad esempio nel seguente modo (sbagliato?); si scrive \(\frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx}-\frac{du}{dx} x-\frac{dx}{dx} u\); semplificando il termine \(\frac{dx}{dx}\) e moltiplicando entrambi i membri per \(dx\) si ottiene appunto (ricordando la definizione di \(df\)) \(dg = -x du + v dy\).
Questo è solo uno dei numerosi esempi che mi vengono in mente in cui un uso "errato" della notazione di Leibniz porta a un risultato corretto. Come si spiega ciò?
Grazie a tutti.
Risposte
Per quanto riguarda la 1, non è raro che manipolazioni puramente formali forniscano risultati giusti.
Ad esempio, pensa a quando ti insegnano a fare la somma di monomi alle medie: è un fatto puramente formale che dà il risultato giusto.
Capisci come mai la somma si fa come ti hanno insegnato solo all'università (quando va bene), perché conosci metodi superiori che ti consentono di afferrare il significato "profondo" delle manipolazioni formali.
Del caso particolare dei differenziali se n'è parlato centinaia di volte.
Per il significato dei differenziali delle variabili, puoi consultare questa dispensina di Fioravante Patrone.
Per quanto riguarda la questione 2, non credo che sia tutto così cheap.
La trasformata di Legendre di una funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), che ricordi, è definita ponendo:
\[
f^*(p)= \sup \Big\{ px -f(x),\ x\in \mathbb{R} \Big\}\; ,
\]
il che vuol dire che \(\overline{q}=-f^*(p)\) è "il più grande" termine noto che si può scegliere se si vuole mantenere la retta del fascio improprio d'equazione \(y=mx+q\) tutto al di sotto del grafico di \(f\); in altri termini:
\[
f(x)\geq mx-f^*(m)\; .
\]
La presenza del \(\sup\) ti dice che non è poi così semplice usare gli strumenti del Calcolo Differenziale per derivare \(f^*\); anzi, in generale, la \(f^*\) non sarà nemmeno derivabile ovunque (al massimo è derivabile quasi ovunque nel senso di Lebesgue, perché \(f^*\) è certamente convessa).
Ad esempio, pensa a quando ti insegnano a fare la somma di monomi alle medie: è un fatto puramente formale che dà il risultato giusto.
Capisci come mai la somma si fa come ti hanno insegnato solo all'università (quando va bene), perché conosci metodi superiori che ti consentono di afferrare il significato "profondo" delle manipolazioni formali.
Del caso particolare dei differenziali se n'è parlato centinaia di volte.
Per il significato dei differenziali delle variabili, puoi consultare questa dispensina di Fioravante Patrone.
Per quanto riguarda la questione 2, non credo che sia tutto così cheap.
La trasformata di Legendre di una funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), che ricordi, è definita ponendo:
\[
f^*(p)= \sup \Big\{ px -f(x),\ x\in \mathbb{R} \Big\}\; ,
\]
il che vuol dire che \(\overline{q}=-f^*(p)\) è "il più grande" termine noto che si può scegliere se si vuole mantenere la retta del fascio improprio d'equazione \(y=mx+q\) tutto al di sotto del grafico di \(f\); in altri termini:
\[
f(x)\geq mx-f^*(m)\; .
\]
La presenza del \(\sup\) ti dice che non è poi così semplice usare gli strumenti del Calcolo Differenziale per derivare \(f^*\); anzi, in generale, la \(f^*\) non sarà nemmeno derivabile ovunque (al massimo è derivabile quasi ovunque nel senso di Lebesgue, perché \(f^*\) è certamente convessa).
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