Notazione derivate

[salvatore.de-luca]

Salve
Durante lo studio delle derivate mi è capitato di imbattermi un questo tipo di notazione:

$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = Df(x_0)$

Mi è chiaro come questo sia una definizione di derivata ma mi è difficile comprenderlo a pieno dato che per notazione "classica di derivata" intendo semplicemente :

$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$

Qualcuno potrebbe spiegarmi le differenze fra le due?

In secondo luogo un'altra notazione che non comprendo a pieno è la seguente

$lim_(x->x_0)(f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x_0))/(x-x_0)=f^(n) (x_0)$

Quest'ultima sarebbe una parte dell'ultimo passaggio per la dimostrazione di Taylor col resto di Peano. Il problema è più o meno simile: non riesco a figurarmi come si arriva alla derivata a partire da tali notazioni xd

Grazie in anticipo

[gugo82]

Sotto c'è un cambiamento di variabile nel limite ed un cambiamento di nome del punto "fisso" in cui si svolge il calcolo.

Invero:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \stackrel{x=x_0}{=} \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \stackrel{h=x-x_0}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\; .
\]