Notazione derivate

salvatore.de-luca
Salve
Durante lo studio delle derivate mi è capitato di imbattermi un questo tipo di notazione:

$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = Df(x_0)$

Mi è chiaro come questo sia una definizione di derivata ma mi è difficile comprenderlo a pieno dato che per notazione "classica di derivata" intendo semplicemente :

$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$

Qualcuno potrebbe spiegarmi le differenze fra le due?

In secondo luogo un'altra notazione che non comprendo a pieno è la seguente

$lim_(x->x_0)(f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x_0))/(x-x_0)=f^(n) (x_0)$

Quest'ultima sarebbe una parte dell'ultimo passaggio per la dimostrazione di Taylor col resto di Peano. Il problema è più o meno simile: non riesco a figurarmi come si arriva alla derivata a partire da tali notazioni xd

Grazie in anticipo

Risposte
gugo82
Sotto c'è un cambiamento di variabile nel limite ed un cambiamento di nome del punto "fisso" in cui si svolge il calcolo.

Invero:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \stackrel{x=x_0}{=} \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \stackrel{h=x-x_0}{=} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\; .
\]

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