Notazione centrata
Qualcuno saprebbe dirmi perchè se scrivo $(x-x_0) $ questa notazione viene chiamata centrata in $x_0$ ? inoltre se applicato a una funzione che descrive una retta, significa che la retta ha centro in $x_0$ ? grazie
Risposte
Non è niente di esoterico, sono solo modi di dire. E poi che cosa sarebbe il centro di una retta?
Quello che fai è una traslazione di coordinate:
supponiamo tu abbia un punto $(x,y)$ rispetto a un primo sistema di coordinate $S$ con origine $(0,0)$ e tu voglia scrivere quel punto rispetto al sistema di coordinate $S'$ con origine in $(x_0,y_0)$.
Le coordinate rispetto a $S'$ saranno $(x',y')=(x,y)-(x_0,y_0)$ e quindi $(x',y')=(x-x_0,y-y_0)$.
supponiamo tu abbia un punto $(x,y)$ rispetto a un primo sistema di coordinate $S$ con origine $(0,0)$ e tu voglia scrivere quel punto rispetto al sistema di coordinate $S'$ con origine in $(x_0,y_0)$.
Le coordinate rispetto a $S'$ saranno $(x',y')=(x,y)-(x_0,y_0)$ e quindi $(x',y')=(x-x_0,y-y_0)$.
ah ok , ma perchè sottraggo piuttosto che aggiungere visto che devo traslare??grazie a lordb!
per dissonance: infatti è quello che vorrei capire , cioè se usa la notazione centrata per l'equazione di una retta cosa sto facendo?
per dissonance: infatti è quello che vorrei capire , cioè se usa la notazione centrata per l'equazione di una retta cosa sto facendo?
"pasqualinux":
...ma perchè sottraggo piuttosto che aggiungere visto che devo traslare...
Non è necessario scomodare le traslazioni. Più semplicemente, quell'espressione deve annullarsi per $[x=x_0]$. Il motivo per il quale debba valere questa proprietà, dovrebbe essere più che palese dal contesto. Altrettanto palese dovrebbe essere il motivo per cui si prende $[x-x_0]$ e non $[x_0-x]$.
"pasqualinux":
Qualcuno saprebbe dirmi perchè se scrivo $(x-x_0) $ questa notazione viene chiamata centrata in $x_0$ ? inoltre se applicato a una funzione che descrive una retta, significa che la retta ha centro in $x_0$ ? grazie
Ma a quale particolare contesto ti riferisci?
Guarda ti faccio un paio di esempi intuitivi e particolarmente semplici, per verificarli usa un software come Geogebra.
Retta:
$gamma:y=3x+5$
Calcolando le intersezioni con gli assi ottieni che "passa" per i punti $A=(-5/3,0),B=(0,5)$
Sostituisci $x$ con $x-3$, ottieni $y=3(x-3)+5$.
Se fai il grafico di questa funzione vedrai che le ascisse dei punti della retta sono incrementate di $3$, ovvero la retta si è "spostata" a "destra" di $3$ unità.
$A->A'=(-5/3+3,0),B->B'=(3,5)$
Circonferenza:
$psi:x^2+y^2=1$
Questa è la solita circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $r=1$.
Sostituisci $x$ con $x-5$ e $y$ con $y-6$, ottieni $(x-5)^2+(y-6)^2=1$.
Hai incrementato le coordinate di tutti i punti della circonferenza di $x=5,y=6$, ovvero ora il centro della circonferenza di trova nel punto $O->O'=(5,6)$.
Il fatto che ci sia $x-x_0$ puoi verificarlo facendo un disegno oppure puoi vederla così:
un punto $(x,y)$ può essere identificato come un vettore che "parte" dall'origine $(0,0)$ del sistema del riferimento e "arriva" al punto stesso $\vec v=(x,y)-(0,0)$.
Se l'origine "diventa" $(x_0,y_0)$, $\vec v' = (x,y)-(x_0,y_0)=(x-x_0,y-y_0)$
Retta:
$gamma:y=3x+5$
Calcolando le intersezioni con gli assi ottieni che "passa" per i punti $A=(-5/3,0),B=(0,5)$
Sostituisci $x$ con $x-3$, ottieni $y=3(x-3)+5$.
Se fai il grafico di questa funzione vedrai che le ascisse dei punti della retta sono incrementate di $3$, ovvero la retta si è "spostata" a "destra" di $3$ unità.
$A->A'=(-5/3+3,0),B->B'=(3,5)$
Circonferenza:
$psi:x^2+y^2=1$
Questa è la solita circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $r=1$.
Sostituisci $x$ con $x-5$ e $y$ con $y-6$, ottieni $(x-5)^2+(y-6)^2=1$.
Hai incrementato le coordinate di tutti i punti della circonferenza di $x=5,y=6$, ovvero ora il centro della circonferenza di trova nel punto $O->O'=(5,6)$.
Il fatto che ci sia $x-x_0$ puoi verificarlo facendo un disegno oppure puoi vederla così:
un punto $(x,y)$ può essere identificato come un vettore che "parte" dall'origine $(0,0)$ del sistema del riferimento e "arriva" al punto stesso $\vec v=(x,y)-(0,0)$.
Se l'origine "diventa" $(x_0,y_0)$, $\vec v' = (x,y)-(x_0,y_0)=(x-x_0,y-y_0)$
@lordb ma se hai scritto $ (x-3) $ dopo perchè sommi il 3 a 5/3 ?? avresti dovuto sottrarlo
"speculor":
Non è necessario scomodare le traslazioni. Più semplicemente, quell'espressione deve annullarsi per $[x=x_0]$. Il motivo per il quale debba valere questa proprietà, dovrebbe essere più che palese dal contesto. Altrettanto palese dovrebbe essere il motivo per cui si prende $[x-x_0]$ e non $[x_0-x]$.
Carissimo speculor cose che per te sono evidenti subito per me non lo sono, forse sono più limitato e meno preparato sull'argomento !! Potresti chiarire i concetti in oggetto ?? grazie
Considera il caso della retta:
$y=3x+5$
poniamo che tu voglia spostare l'origine del tuo sistema di riferimento in $(-3,0)$:
$(0,0)->(-3,0)$.
${(x'=x-(-3)),(y'=y-0):}{(x'=x+3),(y'=y):}{(x=x'-3),(y=y'):}$
Sostituisci:
$y'=3(x'-3)+5$
Cosa succede alle coordinate di un generico punto $(x,y)$ es: $(3,6)$?
${(x'=3+3),(y'=6):}{(x'=6),(y'=6):}$
Voglio ricordarti che stai spostando l'orgine del sistema di riferimento, mentre i punti cambiano di coordinate poichè non si "spostano" con l'origine.
Fissa un oggetto di fronte a te e allontanati, lui sta fermo ma a causa della tua nuova posizione rispetto a te è più lontano!
$y=3x+5$
poniamo che tu voglia spostare l'origine del tuo sistema di riferimento in $(-3,0)$:
$(0,0)->(-3,0)$.
${(x'=x-(-3)),(y'=y-0):}{(x'=x+3),(y'=y):}{(x=x'-3),(y=y'):}$
Sostituisci:
$y'=3(x'-3)+5$
Cosa succede alle coordinate di un generico punto $(x,y)$ es: $(3,6)$?
${(x'=3+3),(y'=6):}{(x'=6),(y'=6):}$
Voglio ricordarti che stai spostando l'orgine del sistema di riferimento, mentre i punti cambiano di coordinate poichè non si "spostano" con l'origine.
Fissa un oggetto di fronte a te e allontanati, lui sta fermo ma a causa della tua nuova posizione rispetto a te è più lontano!
Guarda bene, se tu decrementi l'ascissa dell'origine di $3$ non spostando con lei il punto, questo rispetto a lei ha l'ascissa precedente incrementata di $3$.
edit: dove è sparito il tuo ultimo messaggio ?
"lordb":
${(x'=x+3),(y'=y):}$
edit: dove è sparito il tuo ultimo messaggio ?
lo stavo riscrivendo meglio!!
"lordb":
Retta:
$gamma:y=3x+5$
Calcolando le intersezioni con gli assi ottieni che "passa" per i punti $A=(-5/3,0),B=(0,5)$
Sostituisci $x$ con $x-3$, ottieni $y=3(x-3)+5$.
Se fai il grafico di questa funzione vedrai che le ascisse dei punti della retta sono incrementate di $3$, ovvero la retta si è "spostata" a "destra" di $3$ unità.
$A->A'=(-5/3+3,0),B->B'=(3,0)$
Praticamente $x=-5/3 $ adesso se gli sommi 3 e come dire che stai portando avanti le ascisse di 3 unità,solo che c'è scritto x-3, quindi dovrebbe essere -5/3 -3 , ma poi perchè l'ordinata di B diventa 0 ??
Ah quello è un errore $B=(0,5)->B'=(3,5)$.
"lordb":
Considera il caso della retta:
$y=3x+5$
poniamo che tu voglia spostare l'origine del tuo sistema di riferimento in $(-3,0)$:
$(0,0)->(-3,0)$.
${(x'=x-(-3)),(y'=y-0):}{(x'=x+3),(y'=y):}{(x=x'-3),(y=y'):}$
Sostituisci:
$y'=3(x'-3)+5$
a
$x'=x+3$ di conseguenza viene di nuovo 3x ?? che senso ha??
La nuova equazione dovrebbe semplicemente essere $ y'=3x'-3 $ ovvero $y=3(x-3)+5$.
Il fatto che ci siano gli apici "$'$" sta a significare che sei nel secondo sistema di riferimento,hai sostituito $x$ con $x'-3$ e $y$ con $y'-0$, è evidente che se risostituisci torni nel primo sistema di riferimento...
scusa che differenza c'è tra $ y=3(x-3)+5 $ e $y'=3(x'-3)+5$ mi sto confondendo.. tu le hai scritte entrambe inoltre ripeto se x=-5/3 andando a sostituire dovrebbe essere -5/3-3 e non -5/3+3. Inoltre anche l'ordinata del punto $A$ non sarà più 0!!
ok ok mi è chiaro !! penso di aver capito ti ringrazio per la tua disponibilità!!
Di niente, se ti può essere di aiuto consulta:
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcga.html
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