Nota di HLP: la potenza di un integrale è un integrale
Sto studiando la dimostrazione del Teorema 327, pag. 240 di Inequalities di Hardy-Littlewood-Polya (HLP). C'è una noticina che rimanda ad un articolo di Hardy del '25, che vattelapesca dove sta, ma penso che non sia nulla di difficile.
E' data una funzione \(f\colon [0, \infty)\to [0, \infty)\) misurabile e si denota con \(F\) la sua funzione integrale:
\[F(x)=\int_0^x f(y)\, dy,\ x \ge 0.\]
Si fissa un esponente \(p >1\). Ad un certo punto ci occorre usare su \(F^p\) la formula di integrazione per parti e quindi, formalmente, occorre che anche \(F^p\) sia an integral, ovvero una funzione integrale. Questo fatto è provato nell'articolo di Hardy.
Domanda: Si può dimostrare questa cosa, magari in due righe? Sono funzioni integrali tutte e sole le funzioni assolutamente continue sui compatti, quindi in linguaggio moderno direi che occorre dimostrare la seguente implicazione:
\[F \in W^{1, 1}([a, b]) \Rightarrow F^p \in W^{1, 1}([a, b]), \]
che mi sembra vero e facile da dimostrare. Mi date una mano?
E' data una funzione \(f\colon [0, \infty)\to [0, \infty)\) misurabile e si denota con \(F\) la sua funzione integrale:
\[F(x)=\int_0^x f(y)\, dy,\ x \ge 0.\]
Si fissa un esponente \(p >1\). Ad un certo punto ci occorre usare su \(F^p\) la formula di integrazione per parti e quindi, formalmente, occorre che anche \(F^p\) sia an integral, ovvero una funzione integrale. Questo fatto è provato nell'articolo di Hardy.
Domanda: Si può dimostrare questa cosa, magari in due righe? Sono funzioni integrali tutte e sole le funzioni assolutamente continue sui compatti, quindi in linguaggio moderno direi che occorre dimostrare la seguente implicazione:
\[F \in W^{1, 1}([a, b]) \Rightarrow F^p \in W^{1, 1}([a, b]), \]
che mi sembra vero e facile da dimostrare. Mi date una mano?
Risposte
Qualche ragionamento scemo, assolutamente non giustificato. Insomma, correggimi.
Fatto 1. $W^{1,1}(\Omega)$ è chiuso sotto l'azione delle funzioni lipshitziane (per composizione). (
che brutto modo di dirlo) (da controllare).
Una funzione continua (in particolare assolutamente) su un compatto è limitata, quindi prendi l'elevamento a potenza, lo tronchi al difuori della norma della funzione assolutamente continua, così è lipshitziano, e dovrebbe essere fatta.
Che ne dici?
Fatto 1. $W^{1,1}(\Omega)$ è chiuso sotto l'azione delle funzioni lipshitziane (per composizione). (
che brutto modo di dirlo) (da controllare).Una funzione continua (in particolare assolutamente) su un compatto è limitata, quindi prendi l'elevamento a potenza, lo tronchi al difuori della norma della funzione assolutamente continua, così è lipshitziano, e dovrebbe essere fatta.
Che ne dici?
Cominciamo con le buone notizie: la tua idea è quella giusta a risolvere il problema in questione. Io credo che la tua congettura (Fatto 1 [EDIT] No, la congettura a cui mi riferisco è:
\[f \in W^{1, 1}(\Omega), g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ \text{localmente Lipschitziana}\ \Rightarrow\ g\circ f \in W^{1, 1}(\Omega).\]
La formulazione di Gaal è sempre vera, vedi successivo post di Rigel)
[/edit] sia vera se \(\Omega\) è un intervallo limitato. Difatti, come scritto qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_continuity
dire \(f \in W^{1, 1}([a, b])\) equivale a dire \(f \in AC([a, b])\) (sottolineo che l'intervallo è compatto, a quanto ho capito in questo contesto la differenza è importante), ovvero, in epsilon-deltese:
\[\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta>0\ \text{t.c}\ \forall \{a=x_0
Quindi in particolare \(f\) è limitata su \([a, b]\) e possiamo fare un discorso di Lipschitzianità per mostrare che la condizione con epsilon e delta vale pure per \(f^p\) (o, in generale, per \(g \circ f\) con \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) localmente Lipschitziana).
Su un aperto \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) la congettura è in generale falsa. Può essere che già con \(\Omega=\mathbb{R}\) sia falso, non lo so: l'esempio a cui ho pensato è in \(\mathbb{R}^3\), con \(\Omega=\{x\in \mathbb{R}^3\mid \lvert x \rvert <1\}\):
\[f(x)=\lvert x\rvert^{-1} \in W^{1, 1}(\Omega)\ \text{ma}\ f^3\notin W^{1,1}(\Omega),\]
pur essendo \(\lambda \mapsto\lambda^3\) localmente Lipschitziana. Se vuoi posto un po' di conti, ma sono facili.
\[f \in W^{1, 1}(\Omega), g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ \text{localmente Lipschitziana}\ \Rightarrow\ g\circ f \in W^{1, 1}(\Omega).\]
La formulazione di Gaal è sempre vera, vedi successivo post di Rigel)
[/edit] sia vera se \(\Omega\) è un intervallo limitato. Difatti, come scritto qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_continuity
dire \(f \in W^{1, 1}([a, b])\) equivale a dire \(f \in AC([a, b])\) (sottolineo che l'intervallo è compatto, a quanto ho capito in questo contesto la differenza è importante), ovvero, in epsilon-deltese:
\[\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta>0\ \text{t.c}\ \forall \{a=x_0
Quindi in particolare \(f\) è limitata su \([a, b]\) e possiamo fare un discorso di Lipschitzianità per mostrare che la condizione con epsilon e delta vale pure per \(f^p\) (o, in generale, per \(g \circ f\) con \(g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) localmente Lipschitziana).
Su un aperto \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) la congettura è in generale falsa. Può essere che già con \(\Omega=\mathbb{R}\) sia falso, non lo so: l'esempio a cui ho pensato è in \(\mathbb{R}^3\), con \(\Omega=\{x\in \mathbb{R}^3\mid \lvert x \rvert <1\}\):
\[f(x)=\lvert x\rvert^{-1} \in W^{1, 1}(\Omega)\ \text{ma}\ f^3\notin W^{1,1}(\Omega),\]
pur essendo \(\lambda \mapsto\lambda^3\) localmente Lipschitziana. Se vuoi posto un po' di conti, ma sono facili.
Se \(f\in W^{1,1}(\Omega)\) e \(g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è globalmente lipschitziana, allora \(g\circ f\in W^{1,1}(\Omega)\).
Il problema, nel caso del tuo esempio, sta nel fatto che la funzione \(g(t) = t^p\) non è globalmente lipschitziana per \(p>1\); per garantire una funzione composta in \(W^{1,1}\) hai dunque bisogno che \(f\) sia anche limitata.
Quest'ultima condizione è automaticamente verificata se \(f\in W^{1,1}(I)\) con \(I\) intervallo limitato.
Il problema, nel caso del tuo esempio, sta nel fatto che la funzione \(g(t) = t^p\) non è globalmente lipschitziana per \(p>1\); per garantire una funzione composta in \(W^{1,1}\) hai dunque bisogno che \(f\) sia anche limitata.
Quest'ultima condizione è automaticamente verificata se \(f\in W^{1,1}(I)\) con \(I\) intervallo limitato.
Ah si si, c'è stato un qui pro quo: io parlavo di funzioni localmente Lipschitziane avendo in mente le potenze. Adesso segnalo la cosa nel mio post precedente.
Grazie Rigel per la segnalazione!!! Immagino che per la dimostrazione io possa guardare su qualsiasi libro che tratti un po' di spazi di Sobolev. Sicuramente ci sarà sul libro di Adams, al limite.
Sono contento che la cosa si sia conclusa bene, sapete, sto scrivendo la tesi e non vorrei dilungarmi troppo in dettagli tecnici, ma nemmeno dare cose per scontate.
Grazie Rigel per la segnalazione!!! Immagino che per la dimostrazione io possa guardare su qualsiasi libro che tratti un po' di spazi di Sobolev. Sicuramente ci sarà sul libro di Adams, al limite.
Sono contento che la cosa si sia conclusa bene, sapete, sto scrivendo la tesi e non vorrei dilungarmi troppo in dettagli tecnici, ma nemmeno dare cose per scontate.
Scusa, c'è una imprecisione in quanto ho affermato.
Se \(\Omega\) è illimitato, devi chiedere ad esempio che \(g(0) = 0\), oppure che \(g\circ f\in L^p\).
Riguardo alla referenza, penso che trovi il teorema sullo Ziemer (o comunque sull'Adams).
Se \(\Omega\) è illimitato, devi chiedere ad esempio che \(g(0) = 0\), oppure che \(g\circ f\in L^p\).
Riguardo alla referenza, penso che trovi il teorema sullo Ziemer (o comunque sull'Adams).
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