Norme Lp
volevo sapere se è vero che se ho una funzione a supporto compatto allora per ogni $p>q$ la norma $Lp$ di questa funzione è maggiore della sua norma $Lq$, grazie.
Risposte
mi pare si possa risolvere co holder:
Sia $f$ a supp. comp. il $L^p nn L^q$
$p>q \Rightarrow 1/q > 1/p$, quindi dovrebbe esistere un $r>1$ tc $1/p + 1/r = 1/q$
ora come esponenti coniugati prendi $p/q$ e $r/q$ e applica holder alle funzioni $|f*$"la misura del spp di f"$|^q $ e la funzione caratteristica del supporto di $f$,divisa per la misura del supp., sempre tutto alla q.
fammi sapere...saluti
..Holmes
Sia $f$ a supp. comp. il $L^p nn L^q$
$p>q \Rightarrow 1/q > 1/p$, quindi dovrebbe esistere un $r>1$ tc $1/p + 1/r = 1/q$
ora come esponenti coniugati prendi $p/q$ e $r/q$ e applica holder alle funzioni $|f*$"la misura del spp di f"$|^q $ e la funzione caratteristica del supporto di $f$,divisa per la misura del supp., sempre tutto alla q.
fammi sapere...saluti
..Holmes
boh...ho ottenuto una cosa che non mi pare sia la tesi...
potresti postare i detagli?

guarda nn sn pratico a scrivere dammi un min.
mis supp$f$ = A
$g$= funz. caratt. del supp.
$1/q=1/p+1/r \Rightarrow 1=q/p +q/r$
poi
$\int |Af*gA^(-1)|^q <=( \int(A*f)^p)^(q/p) $moltiplicato una cosa che viene uno
$g$= funz. caratt. del supp.
$1/q=1/p+1/r \Rightarrow 1=q/p +q/r$
poi
$\int |Af*gA^(-1)|^q <=( \int(A*f)^p)^(q/p) $moltiplicato una cosa che viene uno
tra l'altro mi piacerebbe sapere se (nel caso in cui $p>q$) questa disuguaglianza è vera per ogni funzione abbia sia norma n$Lp$ sia norma $Lq$ finita. O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un $a$ reale per cui $Lq
tra l'altro mi piacerebbe sapere se (nel caso in cui ) questa disuguaglianza è vera per ogni funzione abbia sia norma n sia norma finita. O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un reale per cui (cioè la norma Lq della funzione è minore di a* la norma Lp della funzione)? è vero che se la norma Lp è limitata allora anche quella Lq? é vero che se per una successione di funzioni la norma Lp tende a zerp allora ci tende anche quella Lq?
oh mica faccio wikipedia di cognome!
oh mica faccio wikipedia di cognome!
tra l'altro mi piacerebbe sapere se (nel caso in cui p>q ) questa disuguaglianza è vera per ogni funzione abbia sia norma n sia norma finita...
-è nell'ip del primo post che ho messo-
O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un reale per cui (cioè la norma Lq della funzione è minore di a* la norma Lp della funzione)?-non lo so', forse puo dipendere dai casi-........scrivi questo allora! vale per insiemi di supp di mis1, si deve provare il caso generale...giusto
è vero che se la norma Lp è limitata allora anche quella Lq?
-sugli insiemi di misura finita mi pare di si-
é vero che se per una successione di funzioni la norma Lp tende a zerp allora ci tende anche quella Lq?
-vedi sopra-
ben inteso, io nn sono mica un prof.......uno tenta delle risposte!
fammi sapere...ciao
-è nell'ip del primo post che ho messo-
O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un reale per cui (cioè la norma Lq della funzione è minore di a* la norma Lp della funzione)?-non lo so', forse puo dipendere dai casi-........scrivi questo allora! vale per insiemi di supp di mis1, si deve provare il caso generale...giusto
è vero che se la norma Lp è limitata allora anche quella Lq?
-sugli insiemi di misura finita mi pare di si-
é vero che se per una successione di funzioni la norma Lp tende a zerp allora ci tende anche quella Lq?
-vedi sopra-
ben inteso, io nn sono mica un prof.......uno tenta delle risposte!
fammi sapere...ciao
misa che ho un controesempio in effetti:
f=1/2 su [0,2] e nulla altrove, verifica norma l1 e norma l2
f=1/2 su [0,2] e nulla altrove, verifica norma l1 e norma l2
@ tutti: Ragazzi, cercate di esprimervi un po' meglio. Davvero, non si capisce niente, perdonatemi la brutalità. Torniamo a monte, se vi va. La domanda di fransis è chiara: data una funzione [tex]f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex], misurabile e a supporto compatto, è vero che [tex]p < q[/tex] implica [tex]\lVert f \rVert _p \le \lVert f \rVert_q[/tex]? Risposta: no. Esempio:
[tex]f(x)= \begin{cases}
2 & 0 \le x \le 1\\
1 & 1 \le x \le 2 \\
0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}[/tex]
Evidentemente è una funzione misurabile e a supporto compatto (il supporto è[tex][0, 2][/tex]). Calcoliamo:
[tex]\lVert f \rVert _1 = 3; \\ \lVert f \rVert _2 = \sqrt{5}[/tex]
e [tex]3[/tex], che è uguale a [tex]\sqrt{9}[/tex], è maggiore di [tex]\sqrt{5}[/tex].
In generale esistono delle disuguaglianze tra le varie norme [tex]p[/tex] per funzioni a supporto compatto. Queste dipendono dalla misura del supporto, però. Per ottenerle diciamo [tex]C[/tex] il supporto di [tex]f[/tex] e osserviamo che [tex]f= f \chi_C[/tex]. Applicando la disuguaglianza di Hölder si ottiene
[tex]\lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert_p \lVert \chi_C \rVert _{p'} = \lVert f \rVert _p (m(C))^{1/{p'}}[/tex]
per ogni coppia [tex]p, p'[/tex] di esponenti coniugati. Ulteriori disuguaglianze si possono ottenere per mezzo della disuguaglianza generalizzata di Hölder, esattamente nella stessa maniera.
[tex]f(x)= \begin{cases}
2 & 0 \le x \le 1\\
1 & 1 \le x \le 2 \\
0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}[/tex]
Evidentemente è una funzione misurabile e a supporto compatto (il supporto è[tex][0, 2][/tex]). Calcoliamo:
[tex]\lVert f \rVert _1 = 3; \\ \lVert f \rVert _2 = \sqrt{5}[/tex]
e [tex]3[/tex], che è uguale a [tex]\sqrt{9}[/tex], è maggiore di [tex]\sqrt{5}[/tex].
In generale esistono delle disuguaglianze tra le varie norme [tex]p[/tex] per funzioni a supporto compatto. Queste dipendono dalla misura del supporto, però. Per ottenerle diciamo [tex]C[/tex] il supporto di [tex]f[/tex] e osserviamo che [tex]f= f \chi_C[/tex]. Applicando la disuguaglianza di Hölder si ottiene
[tex]\lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert_p \lVert \chi_C \rVert _{p'} = \lVert f \rVert _p (m(C))^{1/{p'}}[/tex]
per ogni coppia [tex]p, p'[/tex] di esponenti coniugati. Ulteriori disuguaglianze si possono ottenere per mezzo della disuguaglianza generalizzata di Hölder, esattamente nella stessa maniera.
......... è infatti nn si dimostrava vero il prob.,
.......giusto, ...e completo! ottimo disssonantce!
ps
non sn mai stato bravo a scrivere
............saluti
.......giusto, ...e completo! ottimo disssonantce!
ps
non sn mai stato bravo a scrivere

............saluti
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.