Norme Lp

[fransis2]

volevo sapere se è vero che se ho una funzione a supporto compatto allora per ogni $p>q$ la norma $Lp$ di questa funzione è maggiore della sua norma $Lq$, grazie.

[holmes1]

mi pare si possa risolvere co holder:

Sia $f$ a supp. comp. il $L^p nn L^q$

$p>q \Rightarrow 1/q > 1/p$, quindi dovrebbe esistere un $r>1$ tc $1/p + 1/r = 1/q$

ora come esponenti coniugati prendi $p/q$ e $r/q$ e applica holder alle funzioni $|f*$"la misura del spp di f"$|^q $ e la funzione caratteristica del supporto di $f$,divisa per la misura del supp., sempre tutto alla q.

fammi sapere...saluti
..Holmes

[fransis2]

boh...ho ottenuto una cosa che non mi pare sia la tesi... potresti postare i detagli?

[holmes1]

guarda nn sn pratico a scrivere dammi un min.

[holmes1]

mis supp$f$ = A
$g$= funz. caratt. del supp.

$1/q=1/p+1/r \Rightarrow 1=q/p +q/r$
poi

$\int |Af*gA^(-1)|^q <=( \int(A*f)^p)^(q/p) $moltiplicato una cosa che viene uno

[fransis2]

tra l'altro mi piacerebbe sapere se (nel caso in cui $p>q$) questa disuguaglianza è vera per ogni funzione abbia sia norma n$Lp$ sia norma $Lq$ finita. O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un $a$ reale per cui $Lq

Cita

Segnala

[holmes1]

tra l'altro mi piacerebbe sapere se (nel caso in cui ) questa disuguaglianza è vera per ogni funzione abbia sia norma n sia norma finita. O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un reale per cui (cioè la norma Lq della funzione è minore di a* la norma Lp della funzione)? è vero che se la norma Lp è limitata allora anche quella Lq? é vero che se per una successione di funzioni la norma Lp tende a zerp allora ci tende anche quella Lq?


oh mica faccio wikipedia di cognome!

[holmes1]

tra l'altro mi piacerebbe sapere se (nel caso in cui p>q ) questa disuguaglianza è vera per ogni funzione abbia sia norma n sia norma finita...
-è nell'ip del primo post che ho messo-

O comunque mi piacerebbe sapere le seguenti cose: è vero che se hai che esiste un reale per cui (cioè la norma Lq della funzione è minore di a* la norma Lp della funzione)?-non lo so', forse puo dipendere dai casi-........scrivi questo allora! vale per insiemi di supp di mis1, si deve provare il caso generale...giusto

è vero che se la norma Lp è limitata allora anche quella Lq?
-sugli insiemi di misura finita mi pare di si-

é vero che se per una successione di funzioni la norma Lp tende a zerp allora ci tende anche quella Lq?
-vedi sopra-

ben inteso, io nn sono mica un prof.......uno tenta delle risposte!


fammi sapere...ciao

[holmes1]

misa che ho un controesempio in effetti:


f=1/2 su [0,2] e nulla altrove, verifica norma l1 e norma l2

[dissonance]

@ tutti: Ragazzi, cercate di esprimervi un po' meglio. Davvero, non si capisce niente, perdonatemi la brutalità. Torniamo a monte, se vi va. La domanda di fransis è chiara: data una funzione [tex]f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex], misurabile e a supporto compatto, è vero che [tex]p < q[/tex] implica [tex]\lVert f \rVert _p \le \lVert f \rVert_q[/tex]? Risposta: no. Esempio:

[tex]f(x)= \begin{cases}
2 & 0 \le x \le 1\\
1 & 1 \le x \le 2 \\
0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}[/tex]

Evidentemente è una funzione misurabile e a supporto compatto (il supporto è[tex][0, 2][/tex]). Calcoliamo:

[tex]\lVert f \rVert _1 = 3; \\ \lVert f \rVert _2 = \sqrt{5}[/tex]

e [tex]3[/tex], che è uguale a [tex]\sqrt{9}[/tex], è maggiore di [tex]\sqrt{5}[/tex].

In generale esistono delle disuguaglianze tra le varie norme [tex]p[/tex] per funzioni a supporto compatto. Queste dipendono dalla misura del supporto, però. Per ottenerle diciamo [tex]C[/tex] il supporto di [tex]f[/tex] e osserviamo che [tex]f= f \chi_C[/tex]. Applicando la disuguaglianza di Hölder si ottiene

[tex]\lVert f \rVert_1 \le \lVert f \rVert_p \lVert \chi_C \rVert _{p'} = \lVert f \rVert _p (m(C))^{1/{p'}}[/tex]

per ogni coppia [tex]p, p'[/tex] di esponenti coniugati. Ulteriori disuguaglianze si possono ottenere per mezzo della disuguaglianza generalizzata di Hölder, esattamente nella stessa maniera.

[holmes1]

......... è infatti nn si dimostrava vero il prob.,
.......giusto, ...e completo! ottimo disssonantce!
ps
non sn mai stato bravo a scrivere


............saluti