Norme equivalenti e prodotti interni
E' possibile che due norme equivalenti non siano entrambe indotte da un prodotto scalare? Ho trovato un esempio, ma mi chiedevo se questa cosa fosse possibile o ho sbagliato qualcosa.
Risposte
Certo.
Ad esempio le norme:
\[
\|x\|_2:=\sqrt{\sum_{n=1}^N x_n^2}\qquad \text{e}\qquad \| x\|_1 := \sum_{n=1}^N |x_n|
\]
sono equivalenti in \(\mathbb{R}^N\) (con \(N\geq 2\)), ma solo la prima (che è quella euclidea) è indotta da prodotto scalare.
Infatti, mentre la prima soddisfa l'identità del parallelogramma, i.e.:
\[
\left\| x+y\right\|_2^2 + \| x-y\|_2^2 = 2\|x\|_2^2 + 2\| y\|_2^2
\]
la seconda non lo fa, nel senso che esistono \(x,y\in \mathbb{R}^N\) tali che:
\[
\left\| x+y\right\|_1^2 + \| x-y\|_1^2 \neq 2\|x\|_1^2 + 2\| y\|_1^2\; .
\]
Ad esempio, prendi \(x=(1,0,0,\ldots ,0)\) ed \(y=(0,1,0,\ldots ,0)\) in \(\mathbb{R}^N\) e fai il conticino.
Ad esempio le norme:
\[
\|x\|_2:=\sqrt{\sum_{n=1}^N x_n^2}\qquad \text{e}\qquad \| x\|_1 := \sum_{n=1}^N |x_n|
\]
sono equivalenti in \(\mathbb{R}^N\) (con \(N\geq 2\)), ma solo la prima (che è quella euclidea) è indotta da prodotto scalare.
Infatti, mentre la prima soddisfa l'identità del parallelogramma, i.e.:
\[
\left\| x+y\right\|_2^2 + \| x-y\|_2^2 = 2\|x\|_2^2 + 2\| y\|_2^2
\]
la seconda non lo fa, nel senso che esistono \(x,y\in \mathbb{R}^N\) tali che:
\[
\left\| x+y\right\|_1^2 + \| x-y\|_1^2 \neq 2\|x\|_1^2 + 2\| y\|_1^2\; .
\]
Ad esempio, prendi \(x=(1,0,0,\ldots ,0)\) ed \(y=(0,1,0,\ldots ,0)\) in \(\mathbb{R}^N\) e fai il conticino.
Era esattamente l'esempio a cui pensavo. Grazie della conferma
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