Norme e intorni sferici
Perchè se una norma B è più fine di un altra norma A, allora l'intorno sferico associato ad A è incluso in B?
Risposte
Definisci "norma più fine".
Una norma ||.||_2 è più fine di una norma ||.||_1, se per def., $ EE K>0 : ||x||{::}_(1) leq ||x||{::}_(2) $ .
E il [tex]$K$[/tex] dove devo metterlo? 
Ad ogni modo, se [tex]$B_i(r)=\{ x\in X:\ \lVert x\rVert_2
Dato che le palle aperte sono usate (come base) per generare le topologie metriche su [tex]$X$[/tex], questa relazione importa che la topologia generata dalla famiglia [tex]$\mathcal{B}_2$[/tex] delle palle nella norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_2$[/tex] è più fine, ossia ha più aperti e quindi è "più comoda", di quella generata dalla famiglia [tex]$\mathcal{B}_1$[/tex] delle palle nella norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_1$[/tex].
Quest'ultimo fatto è vero perchè vale il seguente teorema di carattere del tutto generale:
__________
* Una famiglia [tex]$\mathcal{B}$[/tex] di parti di [tex]$X$[/tex] si dice che verifica le proprietà di base topologica se e solo se:
i. [tex]$\mathcal{B}$[/tex] è un ricoprimento di [tex]$X$[/tex], ossia [tex]$X\subseteq \bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$[/tex];
ii. per ogni [tex]$B^1,B^2\in \mathcal{B}$[/tex] con [tex]$B^1\cap B^2 \neq \varnothing$[/tex] e per ogni [tex]$x\in B^1\cap B^2$[/tex] esiste un [tex]$B^3 \in \mathcal{B}$[/tex] tale che [tex]$x\in B^3\subseteq B^1\cap B^2$[/tex].
Se [tex]$\mathcal{B}$[/tex] verifica le proprietà di base topologica, esiste un'unica topologia [tex]$\tau$[/tex] che è la più piccola topologia nella quale tutti gli elementi di [tex]$\mathcal{B}$[/tex] sono aperti: tale [tex]$\tau$[/tex] si chiama topologia generata da [tex]$\mathcal{B}$[/tex].
Ad ogni modo, se [tex]$B_i(r)=\{ x\in X:\ \lVert x\rVert_2
Dato che le palle aperte sono usate (come base) per generare le topologie metriche su [tex]$X$[/tex], questa relazione importa che la topologia generata dalla famiglia [tex]$\mathcal{B}_2$[/tex] delle palle nella norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_2$[/tex] è più fine, ossia ha più aperti e quindi è "più comoda", di quella generata dalla famiglia [tex]$\mathcal{B}_1$[/tex] delle palle nella norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_1$[/tex].
Quest'ultimo fatto è vero perchè vale il seguente teorema di carattere del tutto generale:
Siano [tex]$X$[/tex] un insieme e [tex]$\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2$[/tex] famiglie di parti di [tex]$X$[/tex] verificanti le proprietà di base topologica*.
Se risulta:
[tex]$\forall x\in X,\ \forall B_1\in \mathcal{B}_1 \text{ con $x\in B_1$},\ \exists B_2\in \mathcal{B}_2:\ x\in B_2\subseteq B_1$[/tex]
allora la topologia [tex]$\tau_2$[/tex] generata da [tex]$\mathcal{B}_2$[/tex] è più fine della topologia [tex]$\tau_1$[/tex] generata da [tex]$\mathcal{B}_2$[/tex].
__________
* Una famiglia [tex]$\mathcal{B}$[/tex] di parti di [tex]$X$[/tex] si dice che verifica le proprietà di base topologica se e solo se:
i. [tex]$\mathcal{B}$[/tex] è un ricoprimento di [tex]$X$[/tex], ossia [tex]$X\subseteq \bigcup_{B\in \mathcal{B}} B$[/tex];
ii. per ogni [tex]$B^1,B^2\in \mathcal{B}$[/tex] con [tex]$B^1\cap B^2 \neq \varnothing$[/tex] e per ogni [tex]$x\in B^1\cap B^2$[/tex] esiste un [tex]$B^3 \in \mathcal{B}$[/tex] tale che [tex]$x\in B^3\subseteq B^1\cap B^2$[/tex].
Se [tex]$\mathcal{B}$[/tex] verifica le proprietà di base topologica, esiste un'unica topologia [tex]$\tau$[/tex] che è la più piccola topologia nella quale tutti gli elementi di [tex]$\mathcal{B}$[/tex] sono aperti: tale [tex]$\tau$[/tex] si chiama topologia generata da [tex]$\mathcal{B}$[/tex].
Grazie.
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