Normalizzazione a 1 variabile aleatoria

[saretta6996]

Consideriamo una variabile aletoria X distribuita sui reali positivi la cui distribuzione di probabilita sia data da f(x) = cxe^(-x). Determinare c in modo che la probabilità sia normalizzata a 1. Calcolate media, varianza e funzione di ripartizione.

[ciampax]

E' la semplice applicazione di alcuni integrali. La funzione

[math]f:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/math]

è la distribuzione di probabilità, per cui si deve avere

[math]1=\int_0^{+\infty} c x e^{-x}\ dx[/math]

da cui, integrando per parti:

[math]1=\lim_{a\to+\infty}\int_0^a c x e^{-x}\ dx=\\ c\lim_{a\to +\infty}\left\{\left[-xe^{-x}\right]_0^{a}+\int_0^a e^{-x}\ dx\right\}=\\
c\lim_{a\to+\infty}\left\{-ae^{-a}+[-e^{-x}]_0^a\right\}=\\
c\lim_{a\to+\infty}\left\{-\frac{a}{e^a}-e^{-a}+1\right\}=c[/math]

e quindi

[math]c=1[/math]

Per definizione si ha che

[math]E(X)=\int_0^{+\infty} x f(x)\ dx\\ V(X)=\int_0^{+\infty}\\
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_0^+\infty x^2 f(x)\ dx-[E(X)]^2\\
F(X)=\int_0^x f(t)\ dt[/math]

sono rispettivamente la media, la varianza e la funzione di ripartizione cercate. Abbiamo allora

[math]E(X)=\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\ dx=\\
\left[-x^2 e^{-x}\right]_0^{+\infty}+2\int_0^{+\infty} x e^{-x}\ dx=2[/math]

[math]V(X)=\int_0^{+\infty} x^3 e^{-x}\ dx-4=\\
\left[-x^3 e^{-x}\right]_0^{+\infty}+3\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\ dx-4=4-4=0[/math]

[math]F(x)=\int_0^x t e^{-t}\ dt=\left[-t e^{-t}\right]_0^x+\int_0^t e^{-t}\ dt=\\
-x e^{-x}+[-e^{-t}]_0^x=-x e^{-x}-e^{-x}+1=1-(x+1)e^{-x}[/math]

[davi02]

La condizione di normalizzazione è che

+∞
∫ cxe^(–x)dx = 1
0

Poiché, calcolando per parti

∫ xe^(–x)dx =
∫ x(–e^(–x))´dx =
x(–e^(–x)) – ∫ (x)´(–e^(–x))dx =
–xe^(–x) + ∫ e^(–x)dx =
–xe^(–x) – e^(–x) + K =
–(x+1)e^(–x) + K

∫ cxe^(–x)dx = –c(x+1)e^(–x) + K

abbiamo, con G(x) = –c(x+1)e^(–x),

+∞
∫ cxe^(–x)dx = G(+∞) – G(0) = 0 + c
0

e la condizione diventa

c = 1

---------------

M(X) =

+∞
∫ x*xe^(–x)dx = 2
0

visto che

∫ x²e^(–x)dx = –(x²+2x+2)e^(–x) + K

---------------

M(X²) =

+∞
∫ x²*xe^(–x)dx = 6
0

visto che

∫ x³e^(–x)dx = –(x³+3x²+6x+6)e^(–x) + K

---------------

Var(X) = M(X²) – (M(X))² = 2

---------------

La funzione di ripartizione F : R → R vale 0 se x < 0, mentre se x ≥ 0

F(x) =

x
∫ te^(–t)dt =
0

1 – (x+1)e^(–x)


ciao