Norma su $C^{0}([a;b])$

[Noisemaker]

Ho questo esercizio in cui non riesco a rispondere alla domanda finale, metto in spoiler le parti meno interessanti.
Sia $C^0 ([0;1];\RR )$ lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[0;1]$ dotato della seguente norma
\begin{align*}
\|f\|_2:=\left(\int_{0}^{1}|f|^2\right)^{1/2},\qquad\forall f\in C^0\left([0;1];\mathbb{R}\right);
\end{align*}
verificare che questa è una norma.

[size=85]

[*:23vbnx72] $\forall f\in C^0 ([0;1];\RR ): \|f\|_2>0:$
\begin{align*}
\|f\|_2 =\left(\int_{0}^{1}|f|^2\right)^{1/2}>0\quad\forall f\in C^0\left([0;1];\mathbb{R}\right) ,
\end{align*}
in quanto $f$ è continua, quindi integrabile, $|f|^2>0$ è continua e integrabile e con integrale maggiore di zero; [/*:m:23vbnx72]
[*:23vbnx72]$\forall f\in C^0 ([0;1];\RR ): \|f\|_2=0\quad\Leftrightarrow\quad f={0}_{ C^0 ([0;1];\RR)} :$
\begin{align*}
\|f\|_2 =\left(\int_{0}^{1}|f|^2\right)^{1/2}=0\quad\Leftrightarrow\quad f\equiv {\bf 0}_{ C^0\left([0;1];\mathbb{R}\right)} =0,
\end{align*}
infatti non esistono funzioni continue e non identicamente nulle nell'intervallo $[0;1],$ tali che $f(x)\ge0, \forall x\in[0;1]$ ed il cui integrale definito sia nullo: infatti supponendo che $f(x)$ sia una funzione continua nell'intervallo $[0;1],$ con $f(x)\ge0 \forall x\in[0;1],$ e tale che
\begin{align*}
\int_{0}^{1} f(x)\,\,dx=0,
\end{align*}
dimostriamo che $f(x)$ è identicamente nulla; supponiamo per assurdo che esista un $x_0\in[0;1]$ tale che $f(x_0)>0;$} allora per la permanenza del segno, esiste nell'intervallo $[0;1]$ un intorno $I$ di $x_0$ per cui
\begin{align*}
f(x)\ge f(x_0),\qquad \forall x\in I:=\{x\in[0;1]: x_0-\delta0\};
\end{align*}
allora avremo:
\begin{align*}
\int_{0}^{1} f(x)\,\,dx &=\int_{0}^{x_0-\delta} f(x)\,\,dx +\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)\,\,dx +\int_{x_0+\delta}^{1} f(x)\,\,dx\\
&\ge \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)\,\,dx \ge\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x_0)\,\,dx=f(x_0)\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}\,\,dx=2\delta f(x_0)>0
\end{align*}
il che porta ad un assurdo in quanto avevamo supposto l'integrale uguale a zero. [/*:m:23vbnx72]
[*:23vbnx72]$\forall f\in C^0 ([0;1];\RR ),\forall \lambda \in\RR: \|\lambda f\|_2=|\lambda|\|f\|_2 :$
\begin{align*}
\|\lambda f\|_2 =\left(\int_{0}^{1}|\lambda f|^2\right)^{1/2}=\left(\int_{0}^{1}|\lambda|^2 |f|^2\right)^{1/2} =\left(|\lambda|^2 \int_{0}^{1}|f|^2\right)^{1/2}=|\lambda| \left(\int_{0}^{1}| f|^2\right)^{1/2}=|\lambda|\|f\|_2
\end{align*} [/*:m:23vbnx72]
[*:23vbnx72]$\forall f,g\in C^0 ([0;1];\RR ): \|f+g\|\le \|f\| +\|g\| :$
\begin{align*}
\| f+g\|_2 =\left(\int_{0}^{1}| f+g|^2\right)^{1/2}\stackrel{\bf (*)}{\le}\left(\int_{0}^{1}| f|^2\right)^{1/2}+\left(\int_{0}^{1}| g|^2\right)^{1/2}= \|f\|_2 +\|g\|_2;
\end{align*}
$(*)$ disuguaglianza di Minkoswki [/*:m:23vbnx72][/list:u:23vbnx72]
[/size]

Sia ora $g\in C^{0} ([0; 1];\RR )$ e sia $L :C^{0} ([0; 1];\RR )\to\RR$ la seguente applicazione:
\begin{align*}
L(f)= \int_{0}^{1} fg,\qquad\forall f\in C^0 ([0;1];\mathbb{R});
\end{align*}
dimostrare che $L$ è una applicazione lineare limitata

[size=85]per dimostrare che $L$ è lineare è sufficiente verificate le due condizioni che definiscono un'applicazione lineare: infatti per ogni $f_1,f_2 \in C^0 ([0;1];\RR )$ si ha:
\begin{align*}
L(f_1+f_2)&= \int_{0}^{1} (f_1+f_2)g = \int_{0}^{1} f_1g+f_2 g = \int_{0}^{1} f_1g+ \int_{0}^{1}f_2 g=L(f_1)+L(f_2);\\
L(\alpha f )&= \int_{0}^{1}\alpha fg= \alpha \int_{0}^{1}fg=\alpha L( f ) ,
\end{align*}
e dunque $L$ è lineare. Pere verificare che è anche limitata, deve esistere una costante positiva $k$ tale che $ |L(f)|\le k:$
\begin{align*}
\left|L(f)\right|=\left| \int_{0}^{1} fg\right|\le \int_{0}^{1}\left|fg\right| = k,
\end{align*}
dove l'ultima uguaglianza deriva dal fatto che $f,g$ sono funzioni contiune su un compatto,quindi limitate,pertanto integrabili.[/size]

e calcolarne la norma.
... ecco qui per calcolare la norma ... vado un pò in sbattimento ... qualche suggerimento?

[Paolo902]

Cauchy-Schwarz ?

Tieni presente che
\[
\int_X \vert f g \vert \le \sqrt{\int_X f^2} \sqrt{\int_X g^2}
\]
per $f,g \in C(X)$, dove $X=[a,b]$ (in realtà non serve la continuità, basta molto, molto meno). Btw, ti ricordo che l'aggettivo "limitato" in riferimento a un operatore lineare $T: X \to Y$ (dove $X,Y$ sono ad esempio normati) significa che esiste una costante $C>0$ tale che
\[
\Vert Tx \Vert_Y \le C \Vert x \Vert_X, \qquad \forall x \in X
\]
Moralmente, la norma di $T$ è la più piccola costante che fa questo servizio. Riesci a concludere da solo adesso? Se vuoi ti posso dare un altro hint, ma sono convinto che tu non ne abbia bisogno... Comunque, se hai bisogno siamo qui!

[Noisemaker]

Grazie Paolo della risposta!

be si la disguaglianza di Cauchy-Schwartz l'avevo anche usata ma mi viene una stima della norma di $L(f)$ e l'esercizio mi chiede di calcolarla ... in reltà o no sto capendo cosa mi chiede l'esercizio, o mi sto perdendo in un bicchier di $H_2O$ .... oppure devo cambiare e studiare psicologia!!

[dissonance]

Comunque quello della disuguaglianza si chiama Schwarz, era un tedesco credo. Invece Schwartz era un francese. Vabbè.

A parte questo sei sulla buona strada. Hai dato una stima della norma, ora dimostra che in realtà quella stima non può essere stretta. Devi convincerti di come si può fare a dimostrare un risultato del genere.

[Paolo902]

@ dissonance: ah, sì, è vero; mi confondo sempre, quello con la t è quello francese della Teoria delle Distribuzioni. Grazie per la correzione!