Norma operatore lineare

[SaturnV]

Ciao a tutti,
ho qualche problema a determinare la norma del seguente operatore lineare, che agisce sullo spazio $l_2$ (spazio delle successioni con norma 2).

Se x è una successione di questo tipo, Tx è definito come segue:

$Tx=(0,(x_1)/2,(x_2)/3 ,..., (x_k)/(k+1) ,...)$

Come faccio a trovare la norma?
Ho provato a stimarla in questo modo:

$||Tx||^2=\sum_{k=1}^oo ((x_k)^2)/(k+1)^2$

Ma da questa disuglianzanza riesco a ottenere solamente che $||T||<1$, non riesco a mostrare che il suo valore è 1/2, come riportato nelle soluzioni...

Fabio

[ViciousGoblin]

"SaturnV":Ciao a tutti,
ho qualche problema a determinare la norma del seguente operatore lineare, che agisce sullo spazio $l_2$ (spazio delle successioni con norma 2).

Se x è una successione di questo tipo, Tx è definito come segue:

$Tx=(0,(x_1)/2,(x_2)/3 ,..., (x_k)/(k+1) ,...)$

Come faccio a trovare la norma?
Ho provato a stimarla in questo modo:

$||Tx||^2=\sum_{k=1}^oo ((x_k)^2)/(k+1)^2$

Ma da questa disuglianzanza riesco a ottenere solamente che $||T||<1$, non riesco a mostrare che il suo valore è 1/2, come riportato nelle soluzioni...

Fabio

Scusa, ma la disuguaglianza che hai scritto ti da' $||Tx||^2=\sum_{k=1}^\infty\frac{x_k^2}{(k+1)^2}\leq\frac{1}{4}\sum_{k=1}^\inftyx_k^2\leq\frac{1}{4}\sum_{k=0}^\infty x_k^2=\frac{||x||^2}{4}$

da cui

$||Tx||\leq\frac{||x||}{2}$ e quindi $||T||\leq1/2$.

Poi se prendi $x=(0,1,0....)$ dimostri che vale l'eguale.

[SaturnV]

Benissimo, ma io non so a priori quanto debba essere la norma.
Come faccio a dire che la "maggiorazione buona" è proprio 1/4 ?

[ViciousGoblin]

"SaturnV":Benissimo, ma io non so a priori quanto debba essere la norma.
Come faccio a dire che la "maggiorazione buona" è proprio 1/4 ?

Mah, a me pare di aver risposto a tutto.
Intanto per qualunque $x$ viene $||Tx||\leq ||x||/2$ ( $1/2$ non $1/4$),
Poi se prendi $x_0=(0,1,0,0,...)$ trovi $Tx_0=(0,1/2,0,0,...)$ da cui $||Tx_0||=1/2=1/2 ||x_0||$ (dato che $||x_0||=1$).
Questo ti dice che $||T||=1/2$.

Cosa manca?

[SaturnV]

Sì, hai ragione.
Ulteriore prova che a me fare matematica oltre le ore 23 fa male...

Grazie

Fabio

[gugo82]

Una piccola nota a margine.
Il tuo $T$ è composto da uno shift a destra $Dx=(0,x_1,x_2, \ldots, x_n,\ldots )$ e dall'operatore $Sy=(y_n/n)$, nel senso che $Tx=(S\circ D)x=S(Dx)$ per ogni $x\in l^2$; quindi vale la stima:

$||T||<=||S||*||D||=1$

visto che $||D||=1$ (infatti $||Dx||_2=||x||_2$) e $||S||=1$ (infatti si ha $||Sx||_2<=||x||_2$ epperò $||Se^1||_2=1=||e^1||_2$*); ora si tratta solo di migliorare la stima di $||T||$ e questo si fa applicando il ragionamento di VG.


Noto che, se si pone $T_m=S\circD^m$ (ossia $S$ composto con $m>=1$ shift a destra $D$), si ottiene esattamente con lo stesso ragionamento $||T_m||=1/(m+1)$.

__________
* Evidentemente $e^1=(1,0,\ldots ,0,\ldots)=(delta_n^1)$; più in generale $e^m=(delta_n^m)$ con $delta_n^m$ simbolo di Kronecker.