Norma L1 del nucleo di Dirichlet
Buonasera, la mia prof di Analisi ci ha proposto di dimostrare il seguente:
Sia $D_N(x) = \frac{sin(N+1/2)x}{sin(x/2)} $ il nucleo di Dirichlet N-esimo.
Detta $||.||_1$ la norma dello spazio $L^1$,
Allora $||D_N(x)||_1 = \frac{4}{\pi^2}logN + O(1) $.
Potreste spiegarmi quest uguaglianza? La prof dice che bisogna considerare integrali impropri, o che cmq è un esercizio di Analisi II, ma io non riesco proprio. Grazie mille :*
Sia $D_N(x) = \frac{sin(N+1/2)x}{sin(x/2)} $ il nucleo di Dirichlet N-esimo.
Detta $||.||_1$ la norma dello spazio $L^1$,
Allora $||D_N(x)||_1 = \frac{4}{\pi^2}logN + O(1) $.
Potreste spiegarmi quest uguaglianza? La prof dice che bisogna considerare integrali impropri, o che cmq è un esercizio di Analisi II, ma io non riesco proprio. Grazie mille :*
Risposte
Lo spazio \(L^1\) su che intervallo? Dai delle informazioni irrilevanti (norma L1, nucleo di Dirichlet n-esimo, ...) e poi ti scordi di dire proprio la cosa più importante.
Riformulo la tua domanda. Vuoi dimostrare questa stima:
\[
\int_{-\pi}^\pi \left|\frac{\sin(N+\frac12)x}{\sin\frac x2}\right|\, dx = \frac{4}{\pi^2}\log N + O(1).
\]
Riformulo la tua domanda. Vuoi dimostrare questa stima:
\[
\int_{-\pi}^\pi \left|\frac{\sin(N+\frac12)x}{\sin\frac x2}\right|\, dx = \frac{4}{\pi^2}\log N + O(1).
\]
Sì esatto. Solo che invece dell o piccolo c'è O grande...
Ci ho pensato un pochino, intanto basta considerare l'integrale su \([0, \pi]\), e poi si può togliere il valore assoluto riscrivendolo così:
\[
\int_0^\pi \left\lvert \frac{\sin (N+\frac12)x }{\sin \frac x 2}\right\rvert \, dx = \left(\int_0^{\frac{\pi}{N+\frac12} } - \int_{\frac{\pi}{N+\frac12}}^{\frac{2\pi}{N+\frac12}} + \ldots +(-1)^{N-1}\int_{ \frac{N-1}{N+\frac12}\pi}^\frac{N\pi}{N+\frac12} + (-1)^N\int_{\frac{N\pi}{N+\frac12}}^\pi\right) \frac{\sin (N+\frac12)x }{\sin \frac x 2}\,dx, \]
sembra bruttissimo ma non ho fatto altro che scomporre l'intervallo secondo il segno della funzione integranda.
Si possono ora stimare questi integrali separatamente. Pensavo fosse più facile, sinceramente. Se ho tempo ci torno più tardi.
\[
\int_0^\pi \left\lvert \frac{\sin (N+\frac12)x }{\sin \frac x 2}\right\rvert \, dx = \left(\int_0^{\frac{\pi}{N+\frac12} } - \int_{\frac{\pi}{N+\frac12}}^{\frac{2\pi}{N+\frac12}} + \ldots +(-1)^{N-1}\int_{ \frac{N-1}{N+\frac12}\pi}^\frac{N\pi}{N+\frac12} + (-1)^N\int_{\frac{N\pi}{N+\frac12}}^\pi\right) \frac{\sin (N+\frac12)x }{\sin \frac x 2}\,dx, \]
sembra bruttissimo ma non ho fatto altro che scomporre l'intervallo secondo il segno della funzione integranda.
Si possono ora stimare questi integrali separatamente. Pensavo fosse più facile, sinceramente. Se ho tempo ci torno più tardi.
Si potrebbe usare, nel calcolo, la forma estesa del nucleo, che se non ricordo male è:
\[
D_N(x) := 1+2\sum_{n=1}^N \cos nx
\]
o roba simile... "Ad occhio", da là dentro, qualcosa simile alla stima asintotica della serie armonica viene fuori quasi sicuramente.
\[
D_N(x) := 1+2\sum_{n=1}^N \cos nx
\]
o roba simile... "Ad occhio", da là dentro, qualcosa simile alla stima asintotica della serie armonica viene fuori quasi sicuramente.
Secondo me una stima inferiore si può fare così:
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \Biggl | \frac{ \sin((N+1/2)x)}{\sin(x/2)} \Biggr |dx = 2\int_{0}^{\pi} \Biggl | \frac{ \sin((N+1/2)x)}{\sin(x/2)} \Biggr | = 4 \int_0^{\pi/2} \Biggl | \frac{\sin(t(2N +1))}{\sin(t)} \Biggr |dt > 4\int_0^{\pi/2} \frac{|\sin(t(2N+1))|}{t}dt= 4 \int_0^{N\pi + \pi/2} \frac{|\sin(u)|}{u}du > 4 \sum_{k=0}^{N-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|sin(u)|}{u}du = 4 \sum_{k=0}^{N-1} \int_0^{\pi} \frac{\sin(u+k\pi)}{u+k\pi}du > \frac{4}{\pi} \sum_{0}^{N-1} \frac{1}{k+1} \int_0^{\pi} \sin(u)du = \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^N \frac{1}{N} > \frac{8}{\pi} \ln(N+1) \]
Però non tornano le tue costanti e manca la stima superiore che non saprei proprio come fare.
Si sa anche che
\[ \sum_{k=-n}^n e^{ik\pi} = \frac{\sin(x(n+1/2))}{\sin(x/2)} \]
ma non ho pensato se si può sfruttare...
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \Biggl | \frac{ \sin((N+1/2)x)}{\sin(x/2)} \Biggr |dx = 2\int_{0}^{\pi} \Biggl | \frac{ \sin((N+1/2)x)}{\sin(x/2)} \Biggr | = 4 \int_0^{\pi/2} \Biggl | \frac{\sin(t(2N +1))}{\sin(t)} \Biggr |dt > 4\int_0^{\pi/2} \frac{|\sin(t(2N+1))|}{t}dt= 4 \int_0^{N\pi + \pi/2} \frac{|\sin(u)|}{u}du > 4 \sum_{k=0}^{N-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|sin(u)|}{u}du = 4 \sum_{k=0}^{N-1} \int_0^{\pi} \frac{\sin(u+k\pi)}{u+k\pi}du > \frac{4}{\pi} \sum_{0}^{N-1} \frac{1}{k+1} \int_0^{\pi} \sin(u)du = \frac{8}{\pi} \sum_{k=1}^N \frac{1}{N} > \frac{8}{\pi} \ln(N+1) \]
Però non tornano le tue costanti e manca la stima superiore che non saprei proprio come fare.
Si sa anche che
\[ \sum_{k=-n}^n e^{ik\pi} = \frac{\sin(x(n+1/2))}{\sin(x/2)} \]
ma non ho pensato se si può sfruttare...
@Bremen: 
In ogni caso la cosa più importante è dimostrare che \(\|D_N\|_{L^1(-\pi, \pi)}\to \infty\), e quello che hai fatto è sufficiente.
In ogni caso la cosa più importante è dimostrare che \(\|D_N\|_{L^1(-\pi, \pi)}\to \infty\), e quello che hai fatto è sufficiente.
Grazie a tutti per le ottime idee (Y)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo