Norma infinito e convergenza quasi uniforme

[dissonance]

Come si sarà capito sto studiando gli spazi $L^p$. Adesso mi stavo soffermando sugli spazi $L^infty$.
Per definizione, dato uno spazio di misura $(X, mu)$, $L^infty(mu)={f: (X, mu)\toCC\ "misurabile"\ |\ "sup ess"|f|maggioranti essenziali di $|f|$ $S(|f|)={lambda\in[0, infty]\ |\ |f(x)|
Mi chiedevo cosa sia, e cosa implichi, la convergenza in $L^infty$. Ho due domande:

1)Questa convergenza implica la convergenza puntuale q.o.? Le norme $p$ questo non lo fanno.

2)E poi: ho trovato la definizione di un altro tipo di convergenza, la convergenza quasi uniforme. E' la stessa cosa della convergenza in $||*||_infty$?

_____________________________
P.S.: Siano $f_n: (X, mu)\toCC$ misurabili. Diremo che $f_n$ converge quasi uniformemente se $\forallepsilon\ \existsE(epsilon)$ tale che $f_n$ converge uniformemente in $E(epsilon)$ e la misura del complementare $mu(E(epsilon)^C)$ è $

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Risposte

dissonance

9 feb 2009, 00:01

Credo di capire che la risposta ad entrambe le domande sia no. Infatti la convergenza quasi uniforme implica la convergenza puntuale q.o., mentre ho l'impressione che la convergenza in $||*||_infty$ non faccia altrettanto.

Ma mi rimane da fabbricare un controesempio...una successione di funzioni $L^infty$, convergente, che però non converga puntualmente (q.o.). Qualche idea?

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gugo82

9 feb 2009, 01:43

Scusa, dissonance, ma il succo del teorema di completezza di $L^oo$ non è che ogni successione di Cauchy $(f_n)\subseteq L^oo$ è uniformemente convergente q.o. (e quindi puntualmente q.o.)?

Inoltre, mi pare di ricordare che la convergenza quasi uniforme (o q.u.) e la convergenza puntuale q.o. sono modi di convergenza equivalenti se stai su uno spazio di misura finita (se non sbaglio questo è il Teorema di Egorov-Severini...); però se lo spazio non ha misura finita l'equivalenza la perdi, mi sà.
Andando sempre a memoria (e sempre nell'ipotesi dello spazio di misura finita, se non erro) mi pare che si trovi:

a) $\quad "convergenza in media (ossia in " L^1")" \quad =>\quad "convergenza in misura"$

b) $\quad "convergenza puntuale q.o. (o equivalentemente convergenza q.u.)" \quad =>\quad "convergenza in misura"$

e viceversa si trova:

c) $\quad "convergenza in misura "\quad \to \quad "convergenza in "L^1 \quad$,

d) $\quad "convergenza in misura "\quad \to \quad "convergenza puntuale q.o." \quad$,

e) $\quad "convergenza in "L^p \quad \to \quad "convergenza puntuale q.o." \quad$ (ma questo lo sapevi dal Teorema di completezza di $L^p$)

ove $\to$ significa che stai passando a successioni estratte.
Ovviamente non ricordo se in a, c) al posto della convergenza in $L^1$ puoi sostituire quella in $L^p$ con $p\in [1,+oo]$, dovresti verificare su qualche testo di Analisi Reale.


P.S.: Per curiosità, dove studi?

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ViciousGoblin

9 feb 2009, 07:40

Confermo cio' che dice Gugo82.
In particolare se vuoi vedere che la convergenza $L^\infty$ implica la convergenza uniforme fuori da un insieme trascurabile puoi ragionare cosi': poni:

$E_n:={x: |f_n(x)-f(x)|\leq ||f_n-f||_\infty}$; $E:=\cup_n E_n$

Allora vedi facilmente che $E$ ha misura nulla e che $f_n\to f$ uniformemente (e quindi puntualmente) sul complementare di $E$.

Invece la convergenza quasi uniforme ti da molto meno.

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dissonance

9 feb 2009, 19:03

Allora... vi prego di avere un po' di pazienza, tutte queste convergenze mi stanno disorientando un poco. (Ero così abituato ad avere due soli tipi di convergenza: una forte (uniforme), l'altra debole (puntuale)... tutte indotte da qualche topologia...E adesso mi cade tutto addosso! )

Cominciamo con la convergenza quasi uniforme e con il teorema di Severini-Egoroff citato da Gugo. [size=75]Quel teorema dice esattamente ciò che dice lui: in uno spazio di misura finita la convergenza puntuale q.o. implica la convergenza quasi uniforme (che è quella del P.S. nel mio primo post). [1][/size]
Più che su questo aspetto, però, vorrei riflettere sulla convergenza in $||*||_infty$.

Prima un'osservazione generale sulla convergenza in $||*||_p$, $1<=pnon implica la convergenza puntuale q.o. [size=75][2][/size]. Il massimo che riusciamo a dire, usando il lemma di Fatou, è che questa convergenza implica la convergenza puntuale q.o. di una sottosuccessione. E anche questo è confermato da Gugo.

Passiamo al caso $p=infty$ - E' giusto dire che la convergenza in $||*||_infty$ è la convergenza uniforme in un insieme a complementare trascurabile?
Ieri non riuscivo a convincermi di questo. Adesso, alla luce del post di V.G. mi sembra vero, invece. E questo perché ogni $|f_n-f|$ si porta appresso un insieme che è "quasi tutto" lo spazio, su cui il suo sup è il suo sup essenziale, ovvero $||f_n-f||_infty$. Questi insiemi li possiamo intersecare, e otteniamo ancora qualcosa che è "quasi tutto" lo spazio - potenza della numerabile additività. Da qui la tesi, visto che il viceversa mi pare ovvio.

Due conseguenze:
1) La convergenza in $||*||_infty$, quindi, implica la convergenza puntuale q.o.? Dico la convergenza di tutta la successione, non di una sottosuccessione. A me pare proprio di sì, a questo punto. Questa sarebbe una differenza sostanziale rispetto alle norme $p$ con $1<=p
2) La convergenza in $||*||_infty$ implica la convergenza quasi uniforme. e non vale il viceversa. Un esempio? Stavo pensando ad una serie di potenze in campo complesso, ad esempio uno degli sviluppi in serie del logaritmo complesso di cui parlavamo qualche giorno fa. Diciamo $phi(z)=sum_{n=1}^infty(-1)^(n+1)(z-1)^n/n$. Questa è la determinazione principale del logaritmo intorno ad 1. Come sappiamo converge sul disco di centro 1 e raggio 1, e non in un disco più grande, perché non può rischiare di toccare lo zero.

Mi pare che le somme parziali di $phi$ siano una successione convergente quasi uniformemente, ma non in $||*||_infty$ ovvero uniformemente q.o. (è giusto dire così?). Che ne dite?



_______________________________
Note:
[1]Se la misura non è finita il teorema non funziona più: come controesempio prenderei la $f_n:(RR, m)\toRR$ definita da $f_n(x)=(1-1/n)x$. Chiaramente $f_n(x)\tox$ puntualmente, ma può convergere uniformemente solo su un insieme limitato. Da qui segue che su nessun insieme di misura non finita ci potrà essere convergenza uniforme: ma questo esclude la convergenza quasi uniforme, perché per scindere $RR$ in una unione $RR=AuuA^C$, con $m(A^C)
[2]Un esempio in questo senso l'ho visto durante il corso che ho frequentato all'università. Si tratta di una successione di funzioni $[0,1]\to[0,1]$ detta typewriter. Se indichiamo con $chi_S$ la funzione indicatrice di $S$, possiamo costruire questa successione così: $f_1=chi_{[0,1]}, f_2=chi_{[0, 1/2]}, f_3=chi_{[1/2, 1]}, f_4=chi_{[0, 1/3]}, f_5=chi_{[1/3, 2/3]},...$ e così via: suddividiamo $[0,1]$ in sottointervalli via via più piccoli e prendiamo in ordine le funzioni indicatrici. Questa successione converge a zero nel senso di $L^p$, $p

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dissonance

9 feb 2009, 19:08

P.S.: (In un nuovo messaggio perché in quello vecchio non c'era più posto)
Per prima cosa, @Gugo: Io studio Matematica presso l'università di Bari.
Seconda cosa, @Gugo e V.G. : Naturalmente, con tutte quelle note del post di prima non intendo venirvi a fare la lezione di analisi! Immagino che siano cose che voi sapete benissimo, e se le scrivo qui sul forum lo faccio in primo luogo per me. Mi aiuta moltissimo a fissare le idee. Quindi non pretendo che vi mettiate a leggere tutta quella zuppa. Il succo del mio post di prima è nelle domande 1), 2).

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gugo82

9 feb 2009, 19:47

1) Sì. (E questo sta scritto pure sul Rudin, nella dimostrazione del Teorema di completezza di $L^oo$, pag. 84)

2) Esempio buono. Potevi anche limitarti al più semplice $\sum x^n/n$ con variabile reale: la convergenza della serie è quasi uniforme (basta tagliar via da $]-1,1[$ piccoli intorni di $pm1$), epperò non è uniforme q.o. (infatti, visto che le funzioni sono continue, la convergenza uniforme q.o. equivale alla convergenza uniforme in $]-1,1[$, che evidentemente non si verifica).

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ViciousGoblin

9 feb 2009, 21:44

Vi siete gia' detti tutto ma voglio avere l'ultima parola

Di controesempi si puo' trovarne di piu' facili, senza ricorrere alle serie. Si puo' prendere $f_n:[0,+\infty[\to RR$ definite da $f_n(x)=e^{-nx}$ e fare il
ragionamento di Gugo82.

Un'altra osservazione ultrapedante (ma ci pensavo da stamattina): la locuzione "converge uniformemente quasi ovunque" non mi piace perche' la
convergenza uniforme non e' una proprieta' di punto (si dice che $f_n$ converge uniformemente su un insieme ma non che converge uniformemente in
un punto). Io esprimerei la proprieta' sopraindicata dicendo che $f_n$ "converge uniformemente fuori da un trascurabile" (ma non faro' crociate per
convertire gli infedeli )

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dissonance

9 feb 2009, 21:45

@Gugo: Che edizione del Rudin hai? A pagina 84 della mia (la terza, internazionale, 1987) c'è la dimostrazione del fatto che $l^2$ è uno spazio di Hilbert. Comunque ho capito a cosa ti riferisci. Però nella mia edizione si parla solo di sottosuccessioni convergenti puntualmente q.o. . Anzi, è proprio da questo fatto che mi è nato il dubbio.

Ora, vista la conferma di Gugo, mi pare abbiamo acclarato che tutte le serie di potenze (reali e complesse), convergenti su dischi (intervalli) limitati forniscono esempi di successioni convergenti quasi uniformemente ma non uniformemente sul complementare di un trascurabile. (Ovviamente stiamo considerando tanto $RR$ quanto $CC$ equipaggiati con la misura di Lebesgue $m$). Questo fenomeno origina dalla convergenza uniforme sui compatti delle serie di potenze.

Mi chiedo che relazione ci sia tra la convergenza quasi uniforme e la convergenza sui compatti, a questo punto. [size=75][1][/size]
Quindi, prendiamo un aperto $Omega\subRR^n$ e una successione $f_n:(Omega, m)\toCC$. Supponiamo che questa converga uniformemente sui compatti di $Omega$. Allora converge quasi uniformemente? E viceversa?



[edit] Non ho considerato il post di V.G. perché scrivevamo insieme. Io sono d'accordo sul fatto che la locuzione convergenza uniforme q.o. non è il massimo. Ieri ad esempio mi ha fatto confondere. E un primo infedele è convertito!



_____________________________
[1]Immagino che si possa fare un discorso generale considerando uno spazio topologico equipaggiato con una misura Boreliana, come fa Rudin; ma sono cose che non ho ancora approfondito. Per il momento l'unica misura Boreliana che conosco è la misura di Lebesgue $m$ di $RR^n$.

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gugo82

9 feb 2009, 22:48

"dissonance":Mi chiedo che relazione ci sia tra la convergenza quasi uniforme e la convergenza sui compatti, a questo punto. [size=75][1][/size]
Quindi, prendiamo un aperto $Omega\subRR^n$ e una successione $f_n:(Omega, m)\toCC$. Supponiamo che questa converga uniformemente sui compatti di $Omega$. Allora converge quasi uniformemente? E viceversa?

Mmmm... Io starei attento se $Omega$ non è limitato.

Insomma, credo che la cosa debba andar vista così. Fissato $Omega$ esiste una successione di compatti $(K_n)$ che esaurisce $Omega$ (nel senso che $(K_n)$ è crescente risp. a $\subseteq$ e $Omega=\bigcup_(n=0)^(+oo) K_n$).
Se $Omega$ è limitato, si ha $lim_n m(Omega\setminus \bigcup_(i=0)^nK_i)=0$ e perciò la convergenza uniforme sui compatti (c.u.c.) implica quella q.u. in $Omega$.
Se, invece, $Omega$ è non limitato le cose si complicano: invero esistono casi in cui $m(Omega \setminus \bigcup_(i=0)^nK_n)=+oo$ per ogni $n\in NN$, quindi in questo caso non si può dire nulla di significativo (secondo me!).
Per contro, esistono $Omega$ non limitati per i quali si ha $lim_n m(Omega\setminus \bigcup_(i=0)^nK_i)=0$* ed in questi casi si può fare il discorso fatto all'inizio.


P.S.: Pensavo avessi l'edizione italiana... Ad ogni modo, il riferimento per la third edition 1987 del Real and Complex Analysis della McGraw-Hill dovrebbe essere pag. 68 (ultimo capoverso della dimostrazione del teorema 3.11).
Come saprà chi frequenta questo forum da un po', del Rudin italiano (della Boringhieri) ho solo alcune fotocopie; il testo è introvabile ormai... Meglio non parlarne più.

__________
* Ad esempio, $Omega:=\{z\in CC: "Re"(z)>1, |"Im"(z)|<1/("Re"(z)^2)\}$ è aperto, non limitato ed ha misura finita (ed uguale a $2$); pertanto comunque scegli una successione di compatti $(K_n)$ che esaurisce $Omega$ trovi $\lim_n m(Omega \setminus \bigcup_(i=0)^n K_i)=0$.

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dissonance

9 feb 2009, 23:19

Ci ragionerò con più calma domani, ma mi pare che un esempio facile facile lo costruiamo subito, sempre basandoci su serie di potenze: la serie esponenziale. In questo caso $Omega=CC$, non è limitato, e infatti la serie converge uniformemente sui compatti e non quasi uniformemente.
Questo perché, come dici tu, non possiamo "approssimare con compatti" tutto $CC$, che non è limitato, non ha nemmeno misura finita e perciò $CC-K$ ha sempre misura infinita per ogni compatto $K$.

Ma mi viene la mezza idea che, se la misura di $Omega$ è finita e $Omega$ è aperto, la c.u.c. e la c.q.u. siano equivalenti. (*)

Infatti: la misura di Lebesgue è, come si dice, internamente regolare; ovvero la misura di ogni misurabile è il sup delle misure dei compatti contenuti. Quindi, se la misura è finita riusciamo a trovare un compatto contenuto nel misurabile di misura arbitrariamente prossima alla misura di quest'ultimo.
Meglio: se $M$ è $L$-misurabile, $m(M)
Da qui dovrebbe seguire l'equivalenza delle due convergenze.



________________
(*) Se $Omega$ non è aperto, di sicuro non è vero e un esempio è la $f_n(x)=e^(-nx)$ che diceva V.G.: in $[0,1]$ converge q.u. ma non uniformemente su $[0,1]$ e quindi non uniformemente sui compatti.

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G.D.5

10 feb 2009, 00:14

"Gugo82":
P.S.: Pensavo avessi l'edizione italiana... Ad ogni modo, il riferimento per la third edition 1987 del Real and Complex Analysis della McGraw-Hill dovrebbe essere pag. 68 (ultimo capoverso della dimostrazione del teorema 3.11).
Come saprà chi frequenta questo forum da un po', del Rudin italiano (della Boringhieri) ho solo alcune fotocopie; il testo è introvabile ormai... Meglio non parlarne più.

Sul sito della bollati boringhieri è possibile inserirlo nell'ordine, poi non so...

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ViciousGoblin

10 feb 2009, 07:33

"dissonance":Ci ragionerò con più calma domani, ma mi pare che un esempio facile facile lo costruiamo subito, sempre basandoci su serie di potenze: la serie esponenziale. In questo caso $Omega=CC$, non è limitato, e infatti la serie converge uniformemente sui compatti e non quasi uniformemente.
Questo perché, come dici tu, non possiamo "approssimare con compatti" tutto $CC$, che non è limitato, non ha nemmeno misura finita e perciò $CC-K$ ha sempre misura infinita per ogni compatto $K$.

Ma mi viene la mezza idea che, se la misura di $Omega$ è finita e $Omega$ è aperto, la c.u.c. e la c.q.u. siano equivalenti. (*)

Infatti: la misura di Lebesgue è, come si dice, internamente regolare; ovvero la misura di ogni misurabile è il sup delle misure dei compatti contenuti. Quindi, se la misura è finita riusciamo a trovare un compatto contenuto nel misurabile di misura arbitrariamente prossima alla misura di quest'ultimo.
Meglio: se $M$ è $L$-misurabile, $m(M)
Da qui dovrebbe seguire l'equivalenza delle due convergenze.

Temo che ti sbagli - se $f_n(x)=e^{-n|x|}$ (oppure, piu' carino, $f_n(x)=\frac{1}{1+n^2x^2$) le $f_n$ convergono q.u. a zero su $]-1,1[$, ma non uniformemente sui compatti.
D'altra parte se la convergenza q.u. e' implicata dalla convergenza quasi ovunque significa che tale convergenza e' una bella schifezza!!
Ti pare che la convergenza quasi ovunque possa implicare la convergenza uniforme sui compatti ?

Per la questione del controesempio fuori dai limitati si puo' prendere $f_n(x)=x/n$, definita in $RR$ che converge a zero uniformemente sui compatti, ma non q.u.

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dissonance

10 feb 2009, 09:07

$e^(-n|x|)$. Era pure facile... Converge q.u. ma non sui compatti, e la pensiamo definita in un aperto limitato. Benissimo!
Allora posso togliermi dalla testa l'analogia tra convergenza quasi uniforme e convergenza uniforme sui compatti.

Una cosa: @wizard - Io ti sconsiglio di provare ad ordinare quel libro in edizione italiana. L'edizione è molto bella, con copertina rigida e tutto (l'ho vista in biblioteca), ma risale ai primi anni Settanta e mi risulta che non sia stata ristampata. So di qualcuno che ha provato ad ordinarla, con l'unico risultato di perdere due mesi in attesa.

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G.D.5

10 feb 2009, 12:47

"dissonance":
Una cosa: @wizard - Io ti sconsiglio di provare ad ordinare quel libro in edizione italiana. L'edizione è molto bella, con copertina rigida e tutto (l'ho vista in biblioteca), ma risale ai primi anni Settanta e mi risulta che non sia stata ristampata. So di qualcuno che ha provato ad ordinarla, con l'unico risultato di perdere due mesi in attesa.

OK.

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[dissonance]

Credo di capire che la risposta ad entrambe le domande sia no. Infatti la convergenza quasi uniforme implica la convergenza puntuale q.o., mentre ho l'impressione che la convergenza in $||*||_infty$ non faccia altrettanto.

Ma mi rimane da fabbricare un controesempio...una successione di funzioni $L^infty$, convergente, che però non converga puntualmente (q.o.). Qualche idea?

[gugo82]

Scusa, dissonance, ma il succo del teorema di completezza di $L^oo$ non è che ogni successione di Cauchy $(f_n)\subseteq L^oo$ è uniformemente convergente q.o. (e quindi puntualmente q.o.)?

Inoltre, mi pare di ricordare che la convergenza quasi uniforme (o q.u.) e la convergenza puntuale q.o. sono modi di convergenza equivalenti se stai su uno spazio di misura finita (se non sbaglio questo è il Teorema di Egorov-Severini...); però se lo spazio non ha misura finita l'equivalenza la perdi, mi sà.
Andando sempre a memoria (e sempre nell'ipotesi dello spazio di misura finita, se non erro) mi pare che si trovi:

a) $\quad "convergenza in media (ossia in " L^1")" \quad =>\quad "convergenza in misura"$

b) $\quad "convergenza puntuale q.o. (o equivalentemente convergenza q.u.)" \quad =>\quad "convergenza in misura"$

e viceversa si trova:

c) $\quad "convergenza in misura "\quad \to \quad "convergenza in "L^1 \quad$,

d) $\quad "convergenza in misura "\quad \to \quad "convergenza puntuale q.o." \quad$,

e) $\quad "convergenza in "L^p \quad \to \quad "convergenza puntuale q.o." \quad$ (ma questo lo sapevi dal Teorema di completezza di $L^p$)

ove $\to$ significa che stai passando a successioni estratte.
Ovviamente non ricordo se in a, c) al posto della convergenza in $L^1$ puoi sostituire quella in $L^p$ con $p\in [1,+oo]$, dovresti verificare su qualche testo di Analisi Reale.


P.S.: Per curiosità, dove studi?

[ViciousGoblin]

Confermo cio' che dice Gugo82.
In particolare se vuoi vedere che la convergenza $L^\infty$ implica la convergenza uniforme fuori da un insieme trascurabile puoi ragionare cosi': poni:

$E_n:={x: |f_n(x)-f(x)|\leq ||f_n-f||_\infty}$; $E:=\cup_n E_n$

Allora vedi facilmente che $E$ ha misura nulla e che $f_n\to f$ uniformemente (e quindi puntualmente) sul complementare di $E$.

Invece la convergenza quasi uniforme ti da molto meno.

[dissonance]

Allora... vi prego di avere un po' di pazienza, tutte queste convergenze mi stanno disorientando un poco. (Ero così abituato ad avere due soli tipi di convergenza: una forte (uniforme), l'altra debole (puntuale)... tutte indotte da qualche topologia...E adesso mi cade tutto addosso! )

Cominciamo con la convergenza quasi uniforme e con il teorema di Severini-Egoroff citato da Gugo. [size=75]Quel teorema dice esattamente ciò che dice lui: in uno spazio di misura finita la convergenza puntuale q.o. implica la convergenza quasi uniforme (che è quella del P.S. nel mio primo post). [1][/size]
Più che su questo aspetto, però, vorrei riflettere sulla convergenza in $||*||_infty$.

Prima un'osservazione generale sulla convergenza in $||*||_p$, $1<=pnon implica la convergenza puntuale q.o. [size=75][2][/size]. Il massimo che riusciamo a dire, usando il lemma di Fatou, è che questa convergenza implica la convergenza puntuale q.o. di una sottosuccessione. E anche questo è confermato da Gugo.

Passiamo al caso $p=infty$ - E' giusto dire che la convergenza in $||*||_infty$ è la convergenza uniforme in un insieme a complementare trascurabile?
Ieri non riuscivo a convincermi di questo. Adesso, alla luce del post di V.G. mi sembra vero, invece. E questo perché ogni $|f_n-f|$ si porta appresso un insieme che è "quasi tutto" lo spazio, su cui il suo sup è il suo sup essenziale, ovvero $||f_n-f||_infty$. Questi insiemi li possiamo intersecare, e otteniamo ancora qualcosa che è "quasi tutto" lo spazio - potenza della numerabile additività. Da qui la tesi, visto che il viceversa mi pare ovvio.

Due conseguenze:
1) La convergenza in $||*||_infty$, quindi, implica la convergenza puntuale q.o.? Dico la convergenza di tutta la successione, non di una sottosuccessione. A me pare proprio di sì, a questo punto. Questa sarebbe una differenza sostanziale rispetto alle norme $p$ con $1<=p
2) La convergenza in $||*||_infty$ implica la convergenza quasi uniforme. e non vale il viceversa. Un esempio? Stavo pensando ad una serie di potenze in campo complesso, ad esempio uno degli sviluppi in serie del logaritmo complesso di cui parlavamo qualche giorno fa. Diciamo $phi(z)=sum_{n=1}^infty(-1)^(n+1)(z-1)^n/n$. Questa è la determinazione principale del logaritmo intorno ad 1. Come sappiamo converge sul disco di centro 1 e raggio 1, e non in un disco più grande, perché non può rischiare di toccare lo zero.

Mi pare che le somme parziali di $phi$ siano una successione convergente quasi uniformemente, ma non in $||*||_infty$ ovvero uniformemente q.o. (è giusto dire così?). Che ne dite?



_______________________________
Note:
[1]Se la misura non è finita il teorema non funziona più: come controesempio prenderei la $f_n:(RR, m)\toRR$ definita da $f_n(x)=(1-1/n)x$. Chiaramente $f_n(x)\tox$ puntualmente, ma può convergere uniformemente solo su un insieme limitato. Da qui segue che su nessun insieme di misura non finita ci potrà essere convergenza uniforme: ma questo esclude la convergenza quasi uniforme, perché per scindere $RR$ in una unione $RR=AuuA^C$, con $m(A^C)
[2]Un esempio in questo senso l'ho visto durante il corso che ho frequentato all'università. Si tratta di una successione di funzioni $[0,1]\to[0,1]$ detta typewriter. Se indichiamo con $chi_S$ la funzione indicatrice di $S$, possiamo costruire questa successione così: $f_1=chi_{[0,1]}, f_2=chi_{[0, 1/2]}, f_3=chi_{[1/2, 1]}, f_4=chi_{[0, 1/3]}, f_5=chi_{[1/3, 2/3]},...$ e così via: suddividiamo $[0,1]$ in sottointervalli via via più piccoli e prendiamo in ordine le funzioni indicatrici. Questa successione converge a zero nel senso di $L^p$, $p

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[dissonance]

P.S.: (In un nuovo messaggio perché in quello vecchio non c'era più posto)
Per prima cosa, @Gugo: Io studio Matematica presso l'università di Bari.
Seconda cosa, @Gugo e V.G. : Naturalmente, con tutte quelle note del post di prima non intendo venirvi a fare la lezione di analisi! Immagino che siano cose che voi sapete benissimo, e se le scrivo qui sul forum lo faccio in primo luogo per me. Mi aiuta moltissimo a fissare le idee. Quindi non pretendo che vi mettiate a leggere tutta quella zuppa. Il succo del mio post di prima è nelle domande 1), 2).

[gugo82]

1) Sì. (E questo sta scritto pure sul Rudin, nella dimostrazione del Teorema di completezza di $L^oo$, pag. 84)

2) Esempio buono. Potevi anche limitarti al più semplice $\sum x^n/n$ con variabile reale: la convergenza della serie è quasi uniforme (basta tagliar via da $]-1,1[$ piccoli intorni di $pm1$), epperò non è uniforme q.o. (infatti, visto che le funzioni sono continue, la convergenza uniforme q.o. equivale alla convergenza uniforme in $]-1,1[$, che evidentemente non si verifica).

[ViciousGoblin]

Vi siete gia' detti tutto ma voglio avere l'ultima parola

Di controesempi si puo' trovarne di piu' facili, senza ricorrere alle serie. Si puo' prendere $f_n:[0,+\infty[\to RR$ definite da $f_n(x)=e^{-nx}$ e fare il
ragionamento di Gugo82.

Un'altra osservazione ultrapedante (ma ci pensavo da stamattina): la locuzione "converge uniformemente quasi ovunque" non mi piace perche' la
convergenza uniforme non e' una proprieta' di punto (si dice che $f_n$ converge uniformemente su un insieme ma non che converge uniformemente in
un punto). Io esprimerei la proprieta' sopraindicata dicendo che $f_n$ "converge uniformemente fuori da un trascurabile" (ma non faro' crociate per
convertire gli infedeli )

[dissonance]

@Gugo: Che edizione del Rudin hai? A pagina 84 della mia (la terza, internazionale, 1987) c'è la dimostrazione del fatto che $l^2$ è uno spazio di Hilbert. Comunque ho capito a cosa ti riferisci. Però nella mia edizione si parla solo di sottosuccessioni convergenti puntualmente q.o. . Anzi, è proprio da questo fatto che mi è nato il dubbio.

Ora, vista la conferma di Gugo, mi pare abbiamo acclarato che tutte le serie di potenze (reali e complesse), convergenti su dischi (intervalli) limitati forniscono esempi di successioni convergenti quasi uniformemente ma non uniformemente sul complementare di un trascurabile. (Ovviamente stiamo considerando tanto $RR$ quanto $CC$ equipaggiati con la misura di Lebesgue $m$). Questo fenomeno origina dalla convergenza uniforme sui compatti delle serie di potenze.

Mi chiedo che relazione ci sia tra la convergenza quasi uniforme e la convergenza sui compatti, a questo punto. [size=75][1][/size]
Quindi, prendiamo un aperto $Omega\subRR^n$ e una successione $f_n:(Omega, m)\toCC$. Supponiamo che questa converga uniformemente sui compatti di $Omega$. Allora converge quasi uniformemente? E viceversa?



[edit] Non ho considerato il post di V.G. perché scrivevamo insieme. Io sono d'accordo sul fatto che la locuzione convergenza uniforme q.o. non è il massimo. Ieri ad esempio mi ha fatto confondere. E un primo infedele è convertito!



_____________________________
[1]Immagino che si possa fare un discorso generale considerando uno spazio topologico equipaggiato con una misura Boreliana, come fa Rudin; ma sono cose che non ho ancora approfondito. Per il momento l'unica misura Boreliana che conosco è la misura di Lebesgue $m$ di $RR^n$.

[gugo82]

"dissonance":Mi chiedo che relazione ci sia tra la convergenza quasi uniforme e la convergenza sui compatti, a questo punto. [size=75][1][/size]
Quindi, prendiamo un aperto $Omega\subRR^n$ e una successione $f_n:(Omega, m)\toCC$. Supponiamo che questa converga uniformemente sui compatti di $Omega$. Allora converge quasi uniformemente? E viceversa?

Mmmm... Io starei attento se $Omega$ non è limitato.

Insomma, credo che la cosa debba andar vista così. Fissato $Omega$ esiste una successione di compatti $(K_n)$ che esaurisce $Omega$ (nel senso che $(K_n)$ è crescente risp. a $\subseteq$ e $Omega=\bigcup_(n=0)^(+oo) K_n$).
Se $Omega$ è limitato, si ha $lim_n m(Omega\setminus \bigcup_(i=0)^nK_i)=0$ e perciò la convergenza uniforme sui compatti (c.u.c.) implica quella q.u. in $Omega$.
Se, invece, $Omega$ è non limitato le cose si complicano: invero esistono casi in cui $m(Omega \setminus \bigcup_(i=0)^nK_n)=+oo$ per ogni $n\in NN$, quindi in questo caso non si può dire nulla di significativo (secondo me!).
Per contro, esistono $Omega$ non limitati per i quali si ha $lim_n m(Omega\setminus \bigcup_(i=0)^nK_i)=0$* ed in questi casi si può fare il discorso fatto all'inizio.


P.S.: Pensavo avessi l'edizione italiana... Ad ogni modo, il riferimento per la third edition 1987 del Real and Complex Analysis della McGraw-Hill dovrebbe essere pag. 68 (ultimo capoverso della dimostrazione del teorema 3.11).
Come saprà chi frequenta questo forum da un po', del Rudin italiano (della Boringhieri) ho solo alcune fotocopie; il testo è introvabile ormai... Meglio non parlarne più.

__________
* Ad esempio, $Omega:=\{z\in CC: "Re"(z)>1, |"Im"(z)|<1/("Re"(z)^2)\}$ è aperto, non limitato ed ha misura finita (ed uguale a $2$); pertanto comunque scegli una successione di compatti $(K_n)$ che esaurisce $Omega$ trovi $\lim_n m(Omega \setminus \bigcup_(i=0)^n K_i)=0$.

[dissonance]

Ci ragionerò con più calma domani, ma mi pare che un esempio facile facile lo costruiamo subito, sempre basandoci su serie di potenze: la serie esponenziale. In questo caso $Omega=CC$, non è limitato, e infatti la serie converge uniformemente sui compatti e non quasi uniformemente.
Questo perché, come dici tu, non possiamo "approssimare con compatti" tutto $CC$, che non è limitato, non ha nemmeno misura finita e perciò $CC-K$ ha sempre misura infinita per ogni compatto $K$.

Ma mi viene la mezza idea che, se la misura di $Omega$ è finita e $Omega$ è aperto, la c.u.c. e la c.q.u. siano equivalenti. (*)

Infatti: la misura di Lebesgue è, come si dice, internamente regolare; ovvero la misura di ogni misurabile è il sup delle misure dei compatti contenuti. Quindi, se la misura è finita riusciamo a trovare un compatto contenuto nel misurabile di misura arbitrariamente prossima alla misura di quest'ultimo.
Meglio: se $M$ è $L$-misurabile, $m(M)
Da qui dovrebbe seguire l'equivalenza delle due convergenze.



________________
(*) Se $Omega$ non è aperto, di sicuro non è vero e un esempio è la $f_n(x)=e^(-nx)$ che diceva V.G.: in $[0,1]$ converge q.u. ma non uniformemente su $[0,1]$ e quindi non uniformemente sui compatti.

[G.D.5]

"Gugo82":
P.S.: Pensavo avessi l'edizione italiana... Ad ogni modo, il riferimento per la third edition 1987 del Real and Complex Analysis della McGraw-Hill dovrebbe essere pag. 68 (ultimo capoverso della dimostrazione del teorema 3.11).
Come saprà chi frequenta questo forum da un po', del Rudin italiano (della Boringhieri) ho solo alcune fotocopie; il testo è introvabile ormai... Meglio non parlarne più.

Sul sito della bollati boringhieri è possibile inserirlo nell'ordine, poi non so...

[ViciousGoblin]

"dissonance":Ci ragionerò con più calma domani, ma mi pare che un esempio facile facile lo costruiamo subito, sempre basandoci su serie di potenze: la serie esponenziale. In questo caso $Omega=CC$, non è limitato, e infatti la serie converge uniformemente sui compatti e non quasi uniformemente.
Questo perché, come dici tu, non possiamo "approssimare con compatti" tutto $CC$, che non è limitato, non ha nemmeno misura finita e perciò $CC-K$ ha sempre misura infinita per ogni compatto $K$.

Ma mi viene la mezza idea che, se la misura di $Omega$ è finita e $Omega$ è aperto, la c.u.c. e la c.q.u. siano equivalenti. (*)

Infatti: la misura di Lebesgue è, come si dice, internamente regolare; ovvero la misura di ogni misurabile è il sup delle misure dei compatti contenuti. Quindi, se la misura è finita riusciamo a trovare un compatto contenuto nel misurabile di misura arbitrariamente prossima alla misura di quest'ultimo.
Meglio: se $M$ è $L$-misurabile, $m(M)
Da qui dovrebbe seguire l'equivalenza delle due convergenze.

Temo che ti sbagli - se $f_n(x)=e^{-n|x|}$ (oppure, piu' carino, $f_n(x)=\frac{1}{1+n^2x^2$) le $f_n$ convergono q.u. a zero su $]-1,1[$, ma non uniformemente sui compatti.
D'altra parte se la convergenza q.u. e' implicata dalla convergenza quasi ovunque significa che tale convergenza e' una bella schifezza!!
Ti pare che la convergenza quasi ovunque possa implicare la convergenza uniforme sui compatti ?

Per la questione del controesempio fuori dai limitati si puo' prendere $f_n(x)=x/n$, definita in $RR$ che converge a zero uniformemente sui compatti, ma non q.u.

[dissonance]

$e^(-n|x|)$. Era pure facile... Converge q.u. ma non sui compatti, e la pensiamo definita in un aperto limitato. Benissimo!
Allora posso togliermi dalla testa l'analogia tra convergenza quasi uniforme e convergenza uniforme sui compatti.

Una cosa: @wizard - Io ti sconsiglio di provare ad ordinare quel libro in edizione italiana. L'edizione è molto bella, con copertina rigida e tutto (l'ho vista in biblioteca), ma risale ai primi anni Settanta e mi risulta che non sia stata ristampata. So di qualcuno che ha provato ad ordinarla, con l'unico risultato di perdere due mesi in attesa.

[G.D.5]

"dissonance":
Una cosa: @wizard - Io ti sconsiglio di provare ad ordinare quel libro in edizione italiana. L'edizione è molto bella, con copertina rigida e tutto (l'ho vista in biblioteca), ma risale ai primi anni Settanta e mi risulta che non sia stata ristampata. So di qualcuno che ha provato ad ordinarla, con l'unico risultato di perdere due mesi in attesa.

OK.