Norma equivalente in $W^(1,p)$
Ciao a tutti, il mio problema è il seguente:
sia $u \in W^(1,p)$, la sua norma è data da:
$ ||u||_(W^(1,p))= ||u||_(L^p)+sum_(i=1)^N||D_iu||_(L^p) $
A lezione ci è stato detto che per trovare una norma equivalente si può far ricorso al seguente teorema:
Siano $N \in NN $ e $\alpha>0$. Allora esistono $\mu_1=\mu_1(N,\alpha)>0$ e $\mu_2=\mu_2(N,\alpha)>0$ tali che per ogni ennupla $(a_1,...,a_N)$ con $a_i>0$ vale che:
$ \mu_1\sum_(i=1)^Na_i^\alpha\leq(\sum_(i=1)^Na_i)^alpha\leq\mu_2\sum_(i=1)^Na_i^\alpha $
Questo teorema lo applichiamo a $sum_(i=1)^n||D_iu||_(L^p)$ e otteniamo:
$ \c_1(\sum_(i=1)^Nint_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p)\leq\sum_(i=1)^N(int_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p)\leq\c_2(\sum_(i=1)^Nint_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p) $
con $\Omega$ aperto di $RR^N$
Poi fa ancora un paio di passaggi ma il problema fondamentalmente è qui..non mi è per niente chiaro come ha applicato il teorema
qualcuno può aiutarmi?
sia $u \in W^(1,p)$, la sua norma è data da:
$ ||u||_(W^(1,p))= ||u||_(L^p)+sum_(i=1)^N||D_iu||_(L^p) $
A lezione ci è stato detto che per trovare una norma equivalente si può far ricorso al seguente teorema:
Siano $N \in NN $ e $\alpha>0$. Allora esistono $\mu_1=\mu_1(N,\alpha)>0$ e $\mu_2=\mu_2(N,\alpha)>0$ tali che per ogni ennupla $(a_1,...,a_N)$ con $a_i>0$ vale che:
$ \mu_1\sum_(i=1)^Na_i^\alpha\leq(\sum_(i=1)^Na_i)^alpha\leq\mu_2\sum_(i=1)^Na_i^\alpha $
Questo teorema lo applichiamo a $sum_(i=1)^n||D_iu||_(L^p)$ e otteniamo:
$ \c_1(\sum_(i=1)^Nint_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p)\leq\sum_(i=1)^N(int_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p)\leq\c_2(\sum_(i=1)^Nint_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p) $
con $\Omega$ aperto di $RR^N$
Poi fa ancora un paio di passaggi ma il problema fondamentalmente è qui..non mi è per niente chiaro come ha applicato il teorema
qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Poni \(\alpha = 1/p\) e
\[
a_i = \int_{\Omega} |D_i u|^p \, dx.
\]
\[
a_i = \int_{\Omega} |D_i u|^p \, dx.
\]
E se la scrivo così:
$$\mu_1\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}\leq (\sum_{k=1}^{N} \int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}\leq \mu_2\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}$$
Ti torna?
$$\mu_1\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}\leq (\sum_{k=1}^{N} \int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}\leq \mu_2\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}$$
Ti torna?
Grazie a entrambi per le risposte!
Sì,mi viene esattamente così applicando la sostituzione suggerita da Rigel..ma perchè se porto la sommatoria sotto la potenza il risultato non cambia?
"dan95":
E se la scrivo così:
\[ \mu_1\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}\leq (\sum_{k=1}^{N} \int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}\leq \mu_2\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p} \]
Ti torna?
Sì,mi viene esattamente così applicando la sostituzione suggerita da Rigel..ma perchè se porto la sommatoria sotto la potenza il risultato non cambia?
Se ho capito quello allora ti rispondo che:
Le disuguaglianze che hai scritto tu e quella che ho scritto io sono equivalenti basta che prendi $c_1=1/\mu_2$ e $c_2=1/\mu_1$
Le disuguaglianze che hai scritto tu e quella che ho scritto io sono equivalenti basta che prendi $c_1=1/\mu_2$ e $c_2=1/\mu_1$
scusa ancora non ci sono... 
cerco di spiegarti meglio quello che non mi è chiaro:
Quello che non mi torna è che quando ho
$ \c_1(\sum_(i=1)^Nint_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p)$ ho che la somma degli integrali è elevata a $1/p$
quando invece ho
$ \mu_1\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}$ quello che risulta elevato a $1/p$ sono solo gli integrali e poi faccio la somma...non mi è chiaro come possono essere equivalenti le due cose anche con la scelta di $c_1$ e $c_2$ che suggerisci tu. Probabilmente ci sarà un passaggio banale di mezzo ma non lo vedo
cerco di spiegarti meglio quello che non mi è chiaro:Quello che non mi torna è che quando ho
$ \c_1(\sum_(i=1)^Nint_(\Omega)|D_iu|^p dx)^(1/p)$ ho che la somma degli integrali è elevata a $1/p$
quando invece ho
$ \mu_1\sum_{k=1}^{N} (\int_{\Omega}|D_i u|^pdx)^{1/p}$ quello che risulta elevato a $1/p$ sono solo gli integrali e poi faccio la somma...non mi è chiaro come possono essere equivalenti le due cose anche con la scelta di $c_1$ e $c_2$ che suggerisci tu. Probabilmente ci sarà un passaggio banale di mezzo ma non lo vedo
Partiamo dalla mia disuguaglianza, prendiamo il "pezzo" sinistro:
$$\mu_1\sum (\int |D_iu | dx)^{1/p} \leq (\sum \int |D_iu | dx)^{1/p} $$
Qual è la cosa più naturale che ti viene da fare?
$$\mu_1\sum (\int |D_iu | dx)^{1/p} \leq (\sum \int |D_iu | dx)^{1/p} $$
Qual è la cosa più naturale che ti viene da fare?
Mi verrebbe da elevare il tutto a $p$ e così otterrei:
$\mu_1^p(\sum (\int |D_iu | dx)^{1/p})^p \leq \sum \int |D_iu | dx$
ammesso sia sulla strada giusta poi però rimango bloccata..
$\mu_1^p(\sum (\int |D_iu | dx)^{1/p})^p \leq \sum \int |D_iu | dx$
ammesso sia sulla strada giusta poi però rimango bloccata..
No attenzione prova a dividere per $\mu_1$ successivamente prendi l'altro pezzo e fai la stessa cosa
Ho capito!Mi stavo decisamente complicando la vita 
Grazie mille per la pazienza 
Grazie mille per la pazienza
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