Norma e prodotto scalare.
Salve a tutti , potete aiutarmi a chiarire i concetti e a correggermi nel caso dicessi cose sbagliate.
Uno spazio viene detto di Hilbert quando la sua norma proviene da un prodotto scalare??!!
Uno spazio di Hilbert è automaticamente completo rispetto alla norma || ||2?
Uno spazio viene detto di Hilbert quando la sua norma proviene da un prodotto scalare??!!
Uno spazio di Hilbert è automaticamente completo rispetto alla norma || ||2?
Risposte
Direi che le tue definizioni non sono esatte.
1) Uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare non è uno spazio di Hilbert, ma viene detto 'spazio con prodotto scalare (o prodotto interno)', o anche' spazio 'pre-hilbertiano'.
2) per avere uno spazio di Hilbert c'è bisogno di qualcosa in più, la completezza: uno spazio di Hilbert è uno spazio con prodotto scalare completo (nella metrica definita dal prodotto scalare, ricorderai che ogni prodotto scalare induce una norma e quindi una metrica).
Quindi uno spazio di Hilbert è completo per definizione.
Uno spazio la cui norma proviene da un prodotto scalare non è ancora uno spazio di Hilbert, ma è solo uno spazio pre-hilbertiano, è necessaria la completezza perché sia di Hilbert.
1) Uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare non è uno spazio di Hilbert, ma viene detto 'spazio con prodotto scalare (o prodotto interno)', o anche' spazio 'pre-hilbertiano'.
2) per avere uno spazio di Hilbert c'è bisogno di qualcosa in più, la completezza: uno spazio di Hilbert è uno spazio con prodotto scalare completo (nella metrica definita dal prodotto scalare, ricorderai che ogni prodotto scalare induce una norma e quindi una metrica).
Quindi uno spazio di Hilbert è completo per definizione.
Uno spazio la cui norma proviene da un prodotto scalare non è ancora uno spazio di Hilbert, ma è solo uno spazio pre-hilbertiano, è necessaria la completezza perché sia di Hilbert.
Intanto volevo ringraziarti per la tua risposta che mi ha chiarito le idee.
Volevo chiederti adesso , come si dimostra la completezza di uno spazio vettoriale di Hilbert?!
E se , mi sembra di capire di si , ma chiedo conferma a te , se uno spazio puo essere completo senza che sia di Hilbert.
Volevo chiederti adesso , come si dimostra la completezza di uno spazio vettoriale di Hilbert?!
E se , mi sembra di capire di si , ma chiedo conferma a te , se uno spazio puo essere completo senza che sia di Hilbert.
Figurati, grazie a te.
Quanto alle tue domande:
- non è che ci siano tecniche specifiche per dimostare la completezza di uno spazio di Hilbert, si dimostra come in qualunque altro caso, facendo vedere che le successioni di Cauchy sono convergenti (nella metrica indotta dal prodotto scalare)
- sì, possono esistere spazi normati completi (spazi di Banach) che non sono di Hilbert, questo perché hanno norme che non provengono da un prodotto scalare. Ad esempio lo spazio $l^p$ ($l^p$ piccolo, le successioni) con $ p!= 2 $ è uno spazio di Banach, ma non è di Hilbert, in quanto si dimostra che la sua norma non proviene da un prodotto scalare.
Quanto alle tue domande:
- non è che ci siano tecniche specifiche per dimostare la completezza di uno spazio di Hilbert, si dimostra come in qualunque altro caso, facendo vedere che le successioni di Cauchy sono convergenti (nella metrica indotta dal prodotto scalare)
- sì, possono esistere spazi normati completi (spazi di Banach) che non sono di Hilbert, questo perché hanno norme che non provengono da un prodotto scalare. Ad esempio lo spazio $l^p$ ($l^p$ piccolo, le successioni) con $ p!= 2 $ è uno spazio di Banach, ma non è di Hilbert, in quanto si dimostra che la sua norma non proviene da un prodotto scalare.
Chiarissima , mi bastava sapere se esiste qualche tecnica (non verificando direttamente la definizione formale ) per vedere se uno spazio fosse completo rispetto alla propria norma.
Un altro dubbio che mi sorge è : su uno spazio qualsiasi posso definire diverse norme differenti tra loro.
Lo stesso è sugli spazi di Hilbert?!
Nel senso che non necessariamente su un qualsiasi spazio di Hilbert,per esempio L^2, deve esistere un unica norma, e di conseguenza se esistono diverse norme , non necessariamente devono essere tute uguali e provenire tutto dal prodotto scalare, giusto?
P.s lo spazio l^2 è di Hilbert?
Un altro dubbio che mi sorge è : su uno spazio qualsiasi posso definire diverse norme differenti tra loro.
Lo stesso è sugli spazi di Hilbert?!
Nel senso che non necessariamente su un qualsiasi spazio di Hilbert,per esempio L^2, deve esistere un unica norma, e di conseguenza se esistono diverse norme , non necessariamente devono essere tute uguali e provenire tutto dal prodotto scalare, giusto?
P.s lo spazio l^2 è di Hilbert?
"daniele90013":
Chiarissima , mi bastava sapere se esiste qualche tecnica (non verificando direttamente la definizione formale ) per vedere se uno spazio fosse completo rispetto alla propria norma.
In generale, no.
"daniele90013":
Un altro dubbio che mi sorge è : su uno spazio qualsiasi posso definire diverse norme differenti tra loro.
Lo stesso è sugli spazi di Hilbert?!
Certo.
"daniele90013":
Nel senso che non necessariamente su un qualsiasi spazio di Hilbert,per esempio L^2, deve esistere un unica norma, e di conseguenza se esistono diverse norme , non necessariamente devono essere tute uguali e provenire tutto dal prodotto scalare, giusto?
Ovvio.
Ad esempio, su \(L^2(0,1)\) puoi mettere la norma di \(L^1\) (perché \(L^2(0,1) \subset L^1(0,1)\) per Hölder), ma ottieni uno spazio non hilbertiano la cui norma non è indotta da prodotto scalare.
Ma puoi anche mettere norme su \(L^2(0,1)\) che rendono tale spazio di Hilbert ma non sono indotte dal prodotto scalare standard. Ad esempio, se \(\kappa>0\), la funzione:
\[
\| f\|_{2,\kappa} := \kappa^2\ \| f\|_2
\]
è una norma indotta da un prodotto scalare.
"daniele90013":
P.s lo spazio l^2 è di Hilbert?
E certo.
Grazie ad entrambi per le superbe risposte, un altra domanda sempre a proposito di completezza di uno spazio mi sorge spontanea. Nella definizione di spazio completo ho : uno spazio si dice completo rispetto ad una norma ||.|| se comunque presa.... ( Ad esso vi prego di dirmi se affinchè sia valida questa definizione la norma deve provenire assolutamente da un prodotto scalare).
"daniele90013":
Nella definizione di spazio completo ho : uno spazio si dice completo rispetto ad una norma ||.|| se comunque presa.... ( Ad esso vi prego di dirmi se affinchè sia valida questa definizione la norma deve provenire assolutamente da un prodotto scalare).
No.
Ad esempio, \(L^1\) è completo rispetto alla sua norma, che non è indotta da prodotto scalare.
Thanks 
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