Norma di un vettore
Definizione: sia $x=(x_1,x_2,...,x_n) in RR^n$ un vettore. Si definisce NORMA di $x$ il numero reale positivo:
$||||=sqrt()=sqrt(sum_{i=1}^n x^2_i)$
Nel caso di $x in RR^3$ la norma così definita corrisponde all'ordinaria definizione di lunghezza di un vettore.
Ricordando lo studio del campo dei numeri complessi $CC$ e la definizione di modulo di un numero complesso $|z|=sqrt(N)=sqrt(a^2+b^2)$ dove $z=a+i*b$, il modulo in effetti determinava la distanza del punto complesso $z$ rispetto l'origine del piano di Gauss, per cui mi viene da associare le due nozioni, sempre che sia corretta tale associazione.
Ora il dubbio però mi sorge alla luce della nota sopra riportata relativa allo spazio $RR^3$: perchè proprio per $RR^3$ la norma di un vettore corrisponde alla lunghezza e non anche per $RR^2$? Non sarebbe la stessa cosa?
$||
Nel caso di $x in RR^3$ la norma così definita corrisponde all'ordinaria definizione di lunghezza di un vettore.
Ricordando lo studio del campo dei numeri complessi $CC$ e la definizione di modulo di un numero complesso $|z|=sqrt(N)=sqrt(a^2+b^2)$ dove $z=a+i*b$, il modulo in effetti determinava la distanza del punto complesso $z$ rispetto l'origine del piano di Gauss, per cui mi viene da associare le due nozioni, sempre che sia corretta tale associazione.
Ora il dubbio però mi sorge alla luce della nota sopra riportata relativa allo spazio $RR^3$: perchè proprio per $RR^3$ la norma di un vettore corrisponde alla lunghezza e non anche per $RR^2$? Non sarebbe la stessa cosa?
Risposte
Certo che lo è! Se avessi scritto la definizione di norma per $RR^2$ avresti trovato che
$||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ se $x=(x_1,x_2)$.
L'equivalenza norma di un numero complesso=norma di vettore in $RR^2$ consiste nel fatto che esiste un isomorfismo (canonico) che permette di interpretare $CC$ come se fosse $RR^2$.
$||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ se $x=(x_1,x_2)$.
L'equivalenza norma di un numero complesso=norma di vettore in $RR^2$ consiste nel fatto che esiste un isomorfismo (canonico) che permette di interpretare $CC$ come se fosse $RR^2$.
Ottimo! Però a questo punto vorrei capire se la norma=lunghezza di un vettore vale solo per $n=2$ e $n=3$ o vale per ogni $n$?
Vale per ogni $n$, ovvio. Forse ti sfugge, ma per definizione la norma è proprio la distanza di un punto $P$ di $RR^n$ dall'origine, ergo rappresenta la lunghezza del vettore $OP$. Quello che invece non è sempre vero, è che essa possa essere assimilata alla norma dei numeri complessi (o di vettori a componenti complesse). Ciò è fattibile solo quando consideri $RR^{2n}$ che si può vedere come $CC^n$.
Ciao Gundam,
la definizione che hai riportato è quella di "Norma euclidea", e questa, per un generico spazio di n dimensioni, corrisponde sempre alla lunghezza del vettore (quindi sì, anche per lo spazio a 2 dimensioni ottieni la lunghezza).
Esistono poi altre tipologie di norma, come la "norma p", di cui la euclidea è solo un caso particolare, o "la norma 1", che generalmente non equivalgono alla lunghezza del vettore.
Flavio
la definizione che hai riportato è quella di "Norma euclidea", e questa, per un generico spazio di n dimensioni, corrisponde sempre alla lunghezza del vettore (quindi sì, anche per lo spazio a 2 dimensioni ottieni la lunghezza).
Esistono poi altre tipologie di norma, come la "norma p", di cui la euclidea è solo un caso particolare, o "la norma 1", che generalmente non equivalgono alla lunghezza del vettore.
Flavio
Bene, grazie a entrambi per le spiegazioni 
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