Norma di operatore limitato

[Nigula88]

Ciao a tutti.
Ho questo problema da risolvere:
Dato $A$ operatore lineare limitato allora dimostrare che se $ =0$ $AAx$ allora $A=0$.
Io ho provato a ragionare in questo modo:
$0=<=||Ax||||x||<=||A||||x||^2=||A|| >=0$ utilizzando la disuguaglianza triangolare.
Quindi ho $||A|| =0 AAx$. Posso quindi concludere che $A=0$?

Grazie.

[gugo82]

Suppongo tu stia parlando di operatori lineari in qualche spazio di Hilbert [tex]$H$[/tex] non banale.

L'idea è quella giusta e l'esecuzione pure; per terminare, tieni presente che le proprietà del prodotto scalare implicano [tex]$\langle x,x\rangle >0$[/tex] per [tex]$x\in H\setminus \{ o\}$[/tex], quindi...

[Nigula88]

Si sono operaatori lineari in uno spazio di Hilbert.
Ma se ho $0= <=||Ax||||x||<=||A||||x||^2=||A||$ che per definizione è $>=0$ posso concludere $0=||A||$? o concludo solo che $||A|| >=0$ che per la dimostrazione non mi serve un granchè.

[dissonance]

@Gugo: Sei sicuro che l'idea sia giusta? A me invece pare di no.

Qui praticamente si sta facendo un discorso di forme quadratiche. La tesi è: se un operatore $A$ definisce la forma quadratica nulla allora è nullo esso stesso. Ora, mentre è ovvio che se $A$ definisce la forma bilineare nulla (sesquilineare nel caso complesso), ovvero se

$\langle Ax, y \rangle = 0,\ \forall x, y \in H,$

allora esso è nullo, è meno ovvio dimostrare quanto richiesto da questo problema.

Anzi, a pensarci bene, la tesi è falsa.

Un controesempio semplice c'è già in $RR^2$:

$A\equiv ((0, 1), (-1, 0))$

è un operatore limitato, $A(x, y)*(x, y)=xy-xy=0$, ma esso non è nullo.

Affinché la tesi sia vera bisogna aggiungere l'ipotesi che $A$ sia simmetrico. @Nigula88: Guarda bene il testo dell'esercizio. C'è scritta questa richiesta?

[Nigula88]

In partenza quello che dovevo dimostrare è questo:
Sia $A$ un operatore limitato allora $A$ è normale se e solo se $||Ax||=||A^star x||$.
Da qui per dimostrare $||Ax||=||A^star x||$ allora $A$ normale ho scritto le due norme come prodotti scalari e veniva $ =0$ quindi tutto si riduceva a dimostrare che se tale prodotto scalare è nullo per ogni $x$ in uno spazio di Hilbert $H$ allora $A^star A-A A^star =0$.
Quindi come ipotesi non avevo che A fosse simmetrico ma solo che fosse limitato.
Però se $A^star A-A A^star$ è simmetrico allora a posto e posso scrivere questa dimostrazione:
Se $ =0$ per ogni $x$ allora vale $ =0=+++ =+$.
Similmente $i =0=i+i - + = - + $.
Sommando membro a membro allora $ =0$. Scegliendo $y=Bx$ risulta $||Bx||^2= =0$ da cui segue $Bx= 0$ per ogni $x$ in $H$ e quindi $B=0$.

[gugo82]

@dissonance: Sì, in effetti mi ero perso un verso nella catena di disuguaglianze: alla fine avevo letto [tex]$\lVert A\rVert\ \langle x,x\rangle \leq 0$[/tex]...

[dissonance]

@Nigula: Ok! Manca solo di mostrare che $B=A A^\star - A^\star A$ è simmetrico, ma si tratta di una cosa proprio ovvia. C'è anche l'altra implicazione adesso, ovvero mostrare che se $A A^\star=A^\star A$ allora $||Ax||=||A^star x||$ per ogni $x \in H$. Ma anche questo è molto semplice, ormai l'esercizio lo hai fatto.

@gugo: Pure io ci ero cascato. Però proprio di recente mi sono rivisto un po' l'argomento "forme quadratiche" e quindi mi sono accorto che la tesi era falsa.