Norma di Lagrange e metrica indotta
Ciao, sto preparando Analisi Matematica II ed il programma riporta, nel paragrafo relativo alle successioni di funzioni: norma e metrica di Lagrange per le funzioni limitate, argomento che non ho sul libro di cui dispongo adesso. Tutto mi fa pensare che possa essere una norma integrale, una delle innumerevoli che si possono definire ed utilizzare in uno spazio funzionale, ma avrei bisogno di maggiori indicazioni.
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Risposte
Se si parla solo di funzioni limitate probabilmente sarà la norma del sup:
detto [tex]B(X)=\{f \colon X \to \mathbb{R}\ \text{limitata}\}[/tex], chiamiamo [tex]$\lVert f \rVert _{\infty} = \sup _{x \in X} \lvert f(x) \rvert$[/tex] (in genere si usa il pedice [tex]\infty[/tex] ma non sempre). C'è da verificare che si tratta effettivamente di una norma.
detto [tex]B(X)=\{f \colon X \to \mathbb{R}\ \text{limitata}\}[/tex], chiamiamo [tex]$\lVert f \rVert _{\infty} = \sup _{x \in X} \lvert f(x) \rvert$[/tex] (in genere si usa il pedice [tex]\infty[/tex] ma non sempre). C'è da verificare che si tratta effettivamente di una norma.
Intanto grazie per la risposta.
Quella che posti l'ho sempre conosciuta come la norma del sup, ed il problema è che non l'ho mai trovata come norma di Lagrange.
Per come la vedo è una norma nello spazio delle funzioni continue definite su di un intervallo e, al momento, non vedo ragione perché così come la definisci non debba rispettare le tre condizioni che definiscono una norma, compresa la disuguaglianza triangolare
$ |f(x)+ g(x)| <= |f(x)| + |g(x)| <= sp|f(x)|+ sp |g(x)| = ||f(x)|| + ||g(x)|| $
passando al sup anche per il primo membro.
Se trovate incongruenze, postatele per favore.
Quella che posti l'ho sempre conosciuta come la norma del sup, ed il problema è che non l'ho mai trovata come norma di Lagrange.
Per come la vedo è una norma nello spazio delle funzioni continue definite su di un intervallo e, al momento, non vedo ragione perché così come la definisci non debba rispettare le tre condizioni che definiscono una norma, compresa la disuguaglianza triangolare
$ |f(x)+ g(x)| <= |f(x)| + |g(x)| <= sp|f(x)|+ sp |g(x)| = ||f(x)|| + ||g(x)|| $
passando al sup anche per il primo membro.
Se trovate incongruenze, postatele per favore.
In realtà questa norma è quella naturale con cui dotare lo spazio delle funzioni limitate, di cui le funzioni continue (su un intervallo compatto) sono un sottospazio. Sono sicuro che si tratta di questa norma perché su uno spazio di funzioni limitate non puoi costruire norme definite per mezzo di integrali: infatti esistono funzioni limitate però non integrabili.
La tua dimostrazione del fatto che $||*||_infty$ è una vera norma va bene.
La tua dimostrazione del fatto che $||*||_infty$ è una vera norma va bene.
In effetti senza restrizioni sull'insieme dei punti di discontinuità l'integrabilità di una funzione limitata non è garantita.
Grazie dissonance.
Grazie dissonance.
Se si cerca con Google "lagrangian norm" o "lagrangian metric" qualcosa si trova. Non so se è quello che ti interessa...
E' un tentativo che avevo fatto, ma ho trovato pagine nelle quali compaiono entrambi i termini, ed in cui lagrangian non si riferisce a norm o metrics.
Cercavo una verifica veloce, ma con tutta probabilità la metrica è quella di cui sopra.
Grazie
Cercavo una verifica veloce, ma con tutta probabilità la metrica è quella di cui sopra.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo