Norma della variazione totale

[stelladinatale1]

Scusate, ma studiando ho trovato una definizione che non conosco.
Se ho una misura $d\zeta$ definita su uno spazio $W$, che cos'è la norma della variazione totale della misura?
Grazie

[dissonance]

Sono cose di misure complesse, dovresti cercare su qualsiasi libro di teoria della misura, per esempio "Real Analysis" di Folland oppure "Real and complex anaysis" di Rudin. Credo comunque che il numero che cerchi sia
\[
\|d\zeta\|= \int_W \, d|\zeta|, \]
ma non ricordo precisamente come si definisce il modulo di una misura.

[Rigel1]

Se \((X,\mathcal{M})\) è uno spazio misurabile e \(\mu\colon \mathcal{M}\to \mathbb{R}^m\) è una misura vettoriale, la variazione totale \(|\mu|\) di \(\mu\) si definisce come
\[
|\mu|(E) := \sup\left\{
\sum_{i=0}^{\infty} |\mu(E_i)|:\ E_i\in\mathcal{M}\ \text{p.d.},\ E=\bigcup_{i=0}^{\infty}E_i
\right\}
\]
(dove "p.d." sta per "pairwise disjoint", cioè a due a due disgiunti).

[stelladinatale1]

Grazie mille a entrambi.
Rigel potresti consigliarmi anche tu qualche testo su cui studiare questo tipo di norma?

[stelladinatale1]

EDIT Scusa Rigel, non mi torna una cosa, nella dimostrazione che sto studiando il libro parla della norma della variazione totale della misura $d\zeta$ e la indica con il simbolo $||d\zeta||$, la definizione che hai scritto tu (se ho capito bene) è della variazione totale della misura che è una funzione dell'insieme $E\in\mathcal{M}$, ma poi la sua norma in che modo la definisco? c'è qualcosa non mi torna tanto...

[Rigel1]

Probabilmente devi misurare la variazione totale di tutto lo spazio ambiente, diciamo \(|\mu|(X)\) se \(X\) è lo spazio ambiente.
Che libro stai usando?

[stelladinatale1]

non credo, perché la misura che sto usando è positiva e quindi se facessi $|\mu|(X)$ avrei semplicemente la misura su tutto lo spazio.
ps. sto usando il ligget (è un libro di probabilità)