Norma del funzionale: esercizietto
Ragazzi sto diventando matta a trovare un esempio con questo esercizio... datemi una mano... sono due giorni che ci penso!!!!
Siano $1<=p,q<=oo$ tali che $1/p+1/q = 1$. Fissato un $y \in l^q(NN) = {(y_n) \in RR | (sum_{n=1}^oo |y_n|^p)^(1/q) Tx:=sum_{n=1}^oo x_n y_n$
Allora io ho visto che: $|Tx| = |sum_{n=1}^oo x_n y_n|<=sum_{n=1}^oo |x_n y_n| = ||x y ||_1<=||x||_p ||y||_q$ (per la disuguaglianza di Hölder)
e quindi: $||T|| = \mbox{sup}_{||x||_p <=1} |Tx| <= ||y||_q$.
Quindi T è un operatore lineare limitato. Ora ciò che ci si aspetterebbe è che $||T||$ sia proprio $||y||_q$. Devo quindi trovare una successione$(x_n) \in l^p(NN)$ per cui $|Tx| = ||y||_q$ e $||x||_p<=1$ (oppure $|Tx| = ||x||_p ||y||_q$ e $||x||_p$ qualsiasi). Ma come?!? Ne ho provate un milione ma non riesco a trovare l'esempio giusto!!
Aiutoooo sto impazzendo dietro questo esercizio!!
Siano $1<=p,q<=oo$ tali che $1/p+1/q = 1$. Fissato un $y \in l^q(NN) = {(y_n) \in RR | (sum_{n=1}^oo |y_n|^p)^(1/q)
Allora io ho visto che: $|Tx| = |sum_{n=1}^oo x_n y_n|<=sum_{n=1}^oo |x_n y_n| = ||x y ||_1<=||x||_p ||y||_q$ (per la disuguaglianza di Hölder)
e quindi: $||T|| = \mbox{sup}_{||x||_p <=1} |Tx| <= ||y||_q$.
Quindi T è un operatore lineare limitato. Ora ciò che ci si aspetterebbe è che $||T||$ sia proprio $||y||_q$. Devo quindi trovare una successione$(x_n) \in l^p(NN)$ per cui $|Tx| = ||y||_q$ e $||x||_p<=1$ (oppure $|Tx| = ||x||_p ||y||_q$ e $||x||_p$ qualsiasi). Ma come?!? Ne ho provate un milione ma non riesco a trovare l'esempio giusto!!
Aiutoooo sto impazzendo dietro questo esercizio!!
Risposte
"blunotte":
Ragazzi sto diventando matta a trovare un esempio con questo esercizio... datemi una mano... sono due giorni che ci penso!!!!
Siano $1<=p,q<=oo$ tali che $1/p+1/q = 1$. Fissato un $y \in l^q(NN) = {(y_n) \in RR | (sum_{n=1}^oo |y_n|^p)^(1/q)Tx:=sum_{n=1}^oo x_n y_n$
Allora io ho visto che: $|Tx| = |sum_{n=1}^oo x_n y_n|<=sum_{n=1}^oo |x_n y_n| = ||x y ||_1<=||x||_p ||y||_q$ (per la disuguaglianza di Hölder)
e quindi: $||T|| = \mbox{sup}_{||x||_p <=1} |Tx| <= ||y||_q$.
Quindi T è un operatore lineare limitato. Ora ciò che ci si aspetterebbe è che $||T||$ sia proprio $||y||_q$. Devo quindi trovare una successione$(x_n) \in l^p(NN)$ per cui $|Tx| = ||y||_q$ e $||x||_p<=1$ (oppure $|Tx| = ||x||_p ||y||_q$ e $||x||_p$ qualsiasi). Ma come?!? Ne ho provate un milione ma non riesco a trovare l'esempio giusto!!
Aiutoooo sto impazzendo dietro questo esercizio!!
Se $y=0$ la cosa è banale; supponi $y!=0$.
Poni $x=(x_n)$ con $AA n in NN, x_n="sign"(y_n)*|y_n|^(q-1)$: in tal modo hai $||x||_p^p=\sum_(n=1)^(+oo)|x_n|^p=\sum_(n=1)^(+oo)|y_n|^((q-1)p)=\sum_(n=1)^(+oo)|y_n|^q<+oo$ ed in particolare $||x||_p=||y||_q^(q/p)=||y||_q^(q-1)$; inoltre:
$Tx=
cosicchè esiste $x in l^p-{0}$ tale che:
$|Tx|/(||x||_p)=||y||_q$
e perciò la norma del funzionale individuato da $y$ non può essere $<||y||_q$. Visto che $||T||le ||y||_q$ ha da essere necessariamente $||T||=||y||_q$.
P.S.: ovviamente $"sign"(alpha)=\{(1, " se " alpha>0),(0, " se " alpha=0),(-1, " se " alpha<0):}$ cosicchè $AA alpha in RR, alpha="sign"(alpha)*|alpha|$; se consideri variabili complesse al posto del $"sign"(alpha)$ devi usare quell'unico numero complesso $u_alpha$ di modulo $1$ tale che $alpha=u_alpha*|alpha|$.
Grazie, grazie, grazie!! Stavo impazzendo... e sai qual era la mia prima idea? La tua stessa identica funzione, ma avevo il problema del segno!!
Mi sento un po' stupida, ma almeno ora sono contenta! ^__^
Mi sento un po' stupida, ma almeno ora sono contenta! ^__^
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