Norma applicazione lineare
Ciao a tutti e buon sabato!
Sto affrontando degli esercizi di analisi 2 riguardanti metriche e topologie.In particolare mi trovo bloccato sul seguente:
Sia $L: RR^2\rightarrowRR^2$ una applicazione lineare. Calcolare $||L||$ quando L è data da :
$L[x,y]=[[cos(1),sin(1)],[-sin(1),cos(1)]] [x,y]. $
La norma per un'applicazione lineare, a scanso di equivoci, è il $"sup"$ della norma euclidea dell'applicazione calcolata sugli $x$ di norma 1. (Scusate ma non trovo le istruzioni mathxml per scrivere il $"sup"$ con il pedice e compagnia bella, spero si capisca!).
Grazie in anticipo per gli aiuti!
Buona giornata,
G
Sto affrontando degli esercizi di analisi 2 riguardanti metriche e topologie.In particolare mi trovo bloccato sul seguente:
Sia $L: RR^2\rightarrowRR^2$ una applicazione lineare. Calcolare $||L||$ quando L è data da :
$L[x,y]=[[cos(1),sin(1)],[-sin(1),cos(1)]] [x,y]. $
La norma per un'applicazione lineare, a scanso di equivoci, è il $"sup"$ della norma euclidea dell'applicazione calcolata sugli $x$ di norma 1. (Scusate ma non trovo le istruzioni mathxml per scrivere il $"sup"$ con il pedice e compagnia bella, spero si capisca!).
Grazie in anticipo per gli aiuti!
Buona giornata,
G
Risposte
In questo caso $L$ è una rotazione intorno a $o=(0,0)$ di un angolo pari a $-1$ radianti (se non sbaglio...).
Come si comporta una rotazione intorno a $o$ rispetto alla norma di un vettore $(x,y)$? La cambia o no?
Risposto a questa domanda, hai risolto l'esercizio (anche nel caso di rotazioni arbitrarie).
Come si comporta una rotazione intorno a $o$ rispetto alla norma di un vettore $(x,y)$? La cambia o no?
Risposto a questa domanda, hai risolto l'esercizio (anche nel caso di rotazioni arbitrarie).
in teoria una rotazione di qualsiasi angolo attorno ad un punto non altera la norma di un vettore. forse il sup è 1, proprio come il valore della norma di x, su cui devo calcolare il sup della norma euclidea dell'applicazione?
mi lascia un pò perplesso il dover ragionare in maniera geometrica piuttosto che aritmeticamente.
mi lascia un pò perplesso il dover ragionare in maniera geometrica piuttosto che aritmeticamente.
In realtà hai $||L(x,y)||=||(x,y)||$, quindi $||L(x,y)||=1$ per ogni coppia di norma unitaria. Il resto va da sé.
Volendo procedere analiticamente, bisogna ragionare come segue: innanzitutto noti che $(x,y)$ ha norma unitaria se e solo se $(x,y)=(cos theta,sin theta)$, poi prendi questa cosa bellina e la sostituisci in $L$, in modo da trovare:
$L(cos theta, sin theta)=(cos 1*cos theta+sin 1*sin theta, -sin1*cos theta+cos1*sin theta)=(cos(theta -1),sin(theta-1)) \quad =>$
$\quad => ||L(cos theta, sin theta)||=\sqrt(cos^2(theta-1)+sin^2(theta-1))=1$
con l'ultima uguaglianza che vale per ogni $theta$. Quindi anche così ritrovi $||L||=1$.
Il primo metodo, quello "geometrico", è più semplice se ricordi le proprietà metriche della rotazione.
P.S.: I ragionamenti di tipo geometrico in Analisi sono più utili di quanto comunemente si pensi e/o si faccia vedere nei corsi di Analisi per studenti.
Volendo procedere analiticamente, bisogna ragionare come segue: innanzitutto noti che $(x,y)$ ha norma unitaria se e solo se $(x,y)=(cos theta,sin theta)$, poi prendi questa cosa bellina e la sostituisci in $L$, in modo da trovare:
$L(cos theta, sin theta)=(cos 1*cos theta+sin 1*sin theta, -sin1*cos theta+cos1*sin theta)=(cos(theta -1),sin(theta-1)) \quad =>$
$\quad => ||L(cos theta, sin theta)||=\sqrt(cos^2(theta-1)+sin^2(theta-1))=1$
con l'ultima uguaglianza che vale per ogni $theta$. Quindi anche così ritrovi $||L||=1$.
Il primo metodo, quello "geometrico", è più semplice se ricordi le proprietà metriche della rotazione.
P.S.: I ragionamenti di tipo geometrico in Analisi sono più utili di quanto comunemente si pensi e/o si faccia vedere nei corsi di Analisi per studenti.
Sbaglio se ragiono in questo modo?
Quell'applicazione $L$ è la rotazione intorno a $0$ di 1 radianti.
Se stiamo munendo lo spazio di partenza e d'arrivo (nel nostro caso coincidente) della stessa norma, la norma 2, allora è giusto quanto dite, dato che l'azione di una rotazione lascia invariata la norma2. Ma non sono sicuro che questo valga per una qualunque norma, così a occhio già penso ad un controesempio in norma1.
Leggo ora che pingpong assumeva la norma2 su tutti e due gli spazi..ma è giusto il mio ragionamento?
Cioè, è sbagliato generalizzare?
Quell'applicazione $L$ è la rotazione intorno a $0$ di 1 radianti.
Se stiamo munendo lo spazio di partenza e d'arrivo (nel nostro caso coincidente) della stessa norma, la norma 2, allora è giusto quanto dite, dato che l'azione di una rotazione lascia invariata la norma2. Ma non sono sicuro che questo valga per una qualunque norma, così a occhio già penso ad un controesempio in norma1.
Leggo ora che pingpong assumeva la norma2 su tutti e due gli spazi..ma è giusto il mio ragionamento?
Cioè, è sbagliato generalizzare?
Ovvio che non vale se, ad esempio, metti in partenza $|| \cdot ||_2$ ed all'arrivo $||\cdot||_1$ (si può vedere esplicitamente facendo i calcoli).
Però non vale nemmeno se metti $||\cdot ||_1$ su dominio e codominio: infatti l'effetto di $L$ è sempre lo stesso quindi essa trasforma il quadrato coi vertici sugli assi $|x|+|y|=1$, che è la sfera unitaria $S_1$ di $(RR,||\cdot ||_1)$, (in nero) in un quadrato che non ha i vertici sugli assi (in rosso):
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes();
plot("1-x",0,1);
plot("x-1",0,1);
plot("1+x",-1,0);
plot("-1-x",-1,0);
stroke="red";
plot("0.217*(x-0.54)+0.84",-0.84,0.54);
plot("-4.6*(x+0.84)+0.54",-0.84,-0.54);
plot("0.217*(x+0.54)-0.84",-0.54,0.84);
plot("-4.6*(x-0.54)+0.84",0.54,0.84);[/asvg]
Si vede che ci sono punti di $L(S_1)$ che stanno fuori da $S_1$, onde l'estremo superiore di $||L(x,y)||_1$ al variare di $(x,y) \in S_1$ è certamente $>1$.
In figura è riportata (in verde) la più piccola sfera di $(RR,||\cdot ||_1)$ contenente $L(S_1)$ al suo interno:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes();
stroke="red";
plot("0.217*(x-0.54)+0.84",-0.84,0.54);
plot("-4.6*(x+0.84)+0.54",-0.84,-0.54);
plot("0.217*(x+0.54)-0.84",-0.54,0.84);
plot("-4.6*(x-0.54)+0.84",0.54,0.84);
stroke="green";
plot("1.38-x",0,1.38);
plot("x-1.38",0,1.38);
plot("1.38+x",-1.38,0);
plot("-1.38-x",-1.38,0);[/asvg]
facendo i conti si trova che il raggio di tale sfera è $cos1+sin1$, quindi $||L||_(1,1)=cos1+sin1$.
Ad occhio, questo risultato si può generalizzare come segue: assegnato un angolo $alpha \in [0,2pi[$ e detta $L_alpha$ la rotazione intorno a $o=(0,0)$ di $RR^2$, la norma di $L_alpha$ rispetto alla norma $||\cdot||_1$ è pari a $||L_alpha||_(1,1)=|cos alpha|+|sin alpha|$.
Si vede che $||L_alpha||_(1,1)$ è massima quando $alpha=pi/4+kpi/2$ per $k=0,\ldots ,3$ (ossia quando $L_alpha$ trasforma $S_1$ in una sfera di $(RR,||\cdot ||_oo)$).
P.S.: Mi accorgo solo ora di aver ruotato il tutto di $1$ radiante, mentre nell'esercizio originario era presente una rotazione di $-1$ radiante; fortunatamente, non cambia nulla di sostanziale nelle osservazioni fatte.
Però non vale nemmeno se metti $||\cdot ||_1$ su dominio e codominio: infatti l'effetto di $L$ è sempre lo stesso quindi essa trasforma il quadrato coi vertici sugli assi $|x|+|y|=1$, che è la sfera unitaria $S_1$ di $(RR,||\cdot ||_1)$, (in nero) in un quadrato che non ha i vertici sugli assi (in rosso):
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes();
plot("1-x",0,1);
plot("x-1",0,1);
plot("1+x",-1,0);
plot("-1-x",-1,0);
stroke="red";
plot("0.217*(x-0.54)+0.84",-0.84,0.54);
plot("-4.6*(x+0.84)+0.54",-0.84,-0.54);
plot("0.217*(x+0.54)-0.84",-0.54,0.84);
plot("-4.6*(x-0.54)+0.84",0.54,0.84);[/asvg]
Si vede che ci sono punti di $L(S_1)$ che stanno fuori da $S_1$, onde l'estremo superiore di $||L(x,y)||_1$ al variare di $(x,y) \in S_1$ è certamente $>1$.
In figura è riportata (in verde) la più piccola sfera di $(RR,||\cdot ||_1)$ contenente $L(S_1)$ al suo interno:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes();
stroke="red";
plot("0.217*(x-0.54)+0.84",-0.84,0.54);
plot("-4.6*(x+0.84)+0.54",-0.84,-0.54);
plot("0.217*(x+0.54)-0.84",-0.54,0.84);
plot("-4.6*(x-0.54)+0.84",0.54,0.84);
stroke="green";
plot("1.38-x",0,1.38);
plot("x-1.38",0,1.38);
plot("1.38+x",-1.38,0);
plot("-1.38-x",-1.38,0);[/asvg]
facendo i conti si trova che il raggio di tale sfera è $cos1+sin1$, quindi $||L||_(1,1)=cos1+sin1$.
Ad occhio, questo risultato si può generalizzare come segue: assegnato un angolo $alpha \in [0,2pi[$ e detta $L_alpha$ la rotazione intorno a $o=(0,0)$ di $RR^2$, la norma di $L_alpha$ rispetto alla norma $||\cdot||_1$ è pari a $||L_alpha||_(1,1)=|cos alpha|+|sin alpha|$.
Si vede che $||L_alpha||_(1,1)$ è massima quando $alpha=pi/4+kpi/2$ per $k=0,\ldots ,3$ (ossia quando $L_alpha$ trasforma $S_1$ in una sfera di $(RR,||\cdot ||_oo)$).
P.S.: Mi accorgo solo ora di aver ruotato il tutto di $1$ radiante, mentre nell'esercizio originario era presente una rotazione di $-1$ radiante; fortunatamente, non cambia nulla di sostanziale nelle osservazioni fatte.
Sissì, era proprio l'esempio a cui pensavo, soltanto non avevo idea di come fare il grafico. Ma tu come fai?
"Gaal Dornick":
era proprio l'esempio a cui pensavo, soltanto non avevo idea di come fare il grafico. Ma tu come fai?
Tecnicamente, uso quanto scritto qui (anche se penso tu lo sappia già...).
Matematicamente, basta fare un paio di conticini.
scusate la tarda risposta, grazie mille per la completezza!
A risentirci alla prossima
G
A risentirci alla prossima
G
@Gugo, beh, si hai ragione. Avrei potuto saperlo...semplicemente leggendo là. Ma nella mia pigrizia non l'aveveo mai fatto. E ora pongo rimedio!
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