Non uniforme continuità - dimostrazione

[Seneca1]

Devo dimostrare che $sin(x^2)$ non è u.c. . Credo di esserci riuscito, ma sarebbe bello poter dimostrare qualche condizione più generale.

Dimostrazione:

Si osserva che $sin(x^2)$ ha infiniti punti estremanti e che la differenza tra un punto estremante $xi_n$ e quello successivo $xi_(n+1)$ è tale che $xi_(n+1) - xi_n -> 0$ per $n -> +oo$. In particolare $xi_n = sqrt( n pi + pi/2 )$ .

Neghiamo la def. di uniforme continuità:

$EE epsilon_0 > 0 : AA delta > 0 , EE x , y in [ 0 , +oo [$ tali che $| x - y | < delta$ ma $|f(x) - f(y)| >= epsilon_0$ (*)

Prendo $epsilon_0 = 1$.

Uso l'ipotesi $xi_(n+1) - xi_n -> 0$; quindi $AA delta > 0 , EE bar n : AA n > bar n , |xi_(n+1) - xi_n|< delta$

Quindi $AA delta > 0 $ riesco a trovare due punti $x , y$ ( $xi_(n+1)$ , $xi_n$ ) tali che la loro differenza è $< delta$ ma per i quali si abbia

$|f(xi_(n+1)) - f(xi_n)| >= 1$ cioè (*) $2 >= 1$.

E' corretto?

Naturalmente tenendo conto che i massimi e minimi di $sin(x^2)$ si alternano, in modo tale da evitare che il punto estremante che segue un punto di massimo sia ancora un punto di massimo.

[Rigel1]

C'è un mio vecchio post da qualche parte, dove si dimostra questo:

Sia $f: RR \to RR$ una funzione periodica. Se $g(x) = f(x^2)$ è uniformemente continua, allora $f$ è costante.

[Seneca1]

Cercavo proprio un risultato simile. Grazie Rigel