Non unicità [equazione differenziale]

[miuemia]

mi sapete spiegare il motivo per cui l'equazione differenziale

$y^{\prime}=\sqrt{|y|}$
$y(0)=0$

non ha un'unica soluzione?
perchè la funzione $\sqrt{|y|}$ non è lipsch. ? e se si come mai non lo è ?



[size=75]NB: titolo integrato da Fioravante Patrone[/size]

[ViciousGoblin]

(1) la funzione $F:[0,+\infty[\to RR$ definita da $F(w)=\sqrt{w}$ NON è lipschitziana:
se lo fosse esisterebbe $L$ reale tale che
$|F(x)-F(y)|\leq L|x-y|$ per ogni $x,y\geq0$.
Ma allora, prendendo $x=0$ e $y>0$ generico otterrei
$\sqrt{y}\leq L y \Leftrightarrow \frac{\sqrt{y}}{y}\leq L \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{y}}\leq L $
che è impossibile dato che
$\lim_{y\to0^+}\frac{1}{\sqrt{y}}=+\infty$

(2) Da quanto sopra si ricava che non si può applicare il teorema di Cauchy per l'equazione
$y'=\sqrt{y}$
tale equazione PUO' avere dei punti iniziali $(x_0,y_0)$ da cui parte più di una soluzione.
In effetti tale fenomeno SI PRESENTA: prendiamo $x_0$ qualunque e $y_0=0$: è innanzitutto chiaro
che $y(x)=0$ per ogni $x$ risolve l'equazione e la condizione iniziale $y(x_0)=0$. Mostriamo che
ce n'è un'altra. Dato che l'equazione è a variabili separabili si possono fare i conti e si trova
$y(x)=\frac{1}{4}(x-x_0)^2$ per $x\geq x_0$ e $y(x)=0$ per $x< x_0$.
Quindi da $(x_0,0)$ partono sia la soluzione identicamente nulla sia la mezza arabola scritta sopra
e quindi non c'è unicità.

[size=75]Ho corretto in terza riga : mancava $L$ e $x,y >=0 $ -spero sia corretto
Camillo[/size]

[miuemia]

grazie per la spiegazione... ti volevo chiedere un'altra cosa.
il mio prof oltre alla soluzione che hai postato tu mi ha detto che c'è un'altra soluzione o meglio una famiglia di soluzioni che sono fatte così:

$(x-a)^2 /4$ per $x\geq a$

$0$ per $b\leq x\leq a$

$-(x-b)^2/4$ per $x\ leq b$

con $b<0
ma non mi convince la terza parte... perchè quando derivo ho che la derivata è $-(x-b)/2$ mentre il secondo membro mi viene con il segno più

[Fioravante Patrone1]

"miuemia":
$-(x-b)^2/4$ per $x\ leq b$

con $b<0
ma non mi convince la terza parte... perchè quando derivo ho che la derivata è $-(x-b)/2$ mentre il secondo membro mi viene con il segno più

uhm, se $x \leq b$ allora $x-b$ sara' negativo...


Mi ricordi un docente di cui avevo seguito un po' di lezioni (Pietro Arduini, allora era esercitatore di analisi I per fisici) che si divertiva a mettere $x$ sulla parte negativa dell'asse delle ascisse. Di modo che $-x$ fosse positiva...
Forse faceva bene

[miuemia]

ah giusto... quindi è corretto.

[ViciousGoblin]

confermo che è corretto - io in realtà non avevo notato che c'era il modulo dentro la radice e non avevo messo l'altra (famiglia di) soluzione(i).

[dissonance]

Vorrei capire il metodo "concreto" con cui VGE ha trovato tutte le soluzioni del problema.
Supponiamo che questo sia (*):${(y'=sqrt(y)),(y(0)=0):}$ senza val.assoluto per semplicità. Una soluzione è quella identicamente nulla, ma siccome non valgono teoremi di unicità, non è detto che sia l'unica. Come si fa a trovare le altre?
Dalla risposta di VGE, presumo che lui abbia fatto in questa maniera: considerato un problema di Cauchy di dati iniziali $(x_0, y_0)$, entrambi $>0$ abbiamo:
-)un teorema di esistenza e unicità;
-)la possibilità di separare le variabili, visto che in un intorno di $y_0$ la $sqrt(y)$ non si annulla.

Risolviamo e otteniamo la soluzione $phi(x)=1/4*(x-x_0-2sqrt(y_0))^2$, valida solo in un intervallo t.c. $phi(x)>0$ (questa supposizione è necessaria per separare le variabili).

Questa soluzione vale anche per $(x_0,y_0)=(0,0)$ (credo che c'entri qualcosa la dipendenza continua dai dati iniziali - è come se stessimo prolungando per continuità) con $x>=0$; inoltre si allaccia in modo liscio con la soluzione costante. Perciò $y(x)={(phi(x), x>=0), (0, x<0):}$ è una soluzione del problema (*).

E' corretto? Se lo fosse, come potremmo essere sicuri di avere individuato tutte le soluzioni?

grazie dell'attenzione!

[Fioravante Patrone1]

La garanzia di aver trovato tutte le soluzioni e' data dal fatto che, in ciascuno dei due semipiani y>0 e y<0, si puo' applicare il teorema di esistenza ed unicita'.

A questo punto si tratta di capire cosa fanno le soluzioni quando la y(x) si avvicina a zero. Lo studio e' facilitato dal fatto che siamo sicuri che le soluzioni sono strettamente monotone (per ovvie considerazioni sul segno della b(y) che resta costante).

[dissonance]

"Fioravante Patrone":...
A questo punto si tratta di capire cosa fanno le soluzioni quando la y(x) si avvicina a zero... Lo studio e' facilitato dal fatto che siamo sicuri che le soluzioni sono strettamente monotone (per ovvie considerazioni sul segno della b(y) che resta costante).

Nel momento in cui una soluzione "sfugge" dall'asse delle x ({$y=0$}), ovvero assume un valore diverso da zero, vale il teorema di esistenza e unicità, e perciò deve necessariamente coincidere con uno degli archi di parabola descritti prima, che sono soluzioni uniche dei problemi di Cauchy con $y_0!=0$. Quindi ogni soluzione o è identicamente nulla, oppure è composta da un tratto nullo e uno o due tratti parabolici come sopra. (è la descrizione a parole della famiglia di soluzioni presentata da miuemia).

Potrebbe funzionare?

[ViciousGoblin]

Potrebbe funzionare?

Esatto - il fatto cruciale è che il fenomeno di "sdoppiamento" può verificarsi, in questo caso, solo nei punti
$(x_0,0)$, nell'intorno dei quali manca la lipschitzianità.

[dissonance]

Ok. Finalmente inizio a capire! grazie mille!!!