Non unicità della soluzione per un problema di Cauchy
Salve ragazzi, studiando le equazioni differenziali mi è capitato questo esercizio.
Studiare il seguente problema di Cauchy:
$ { ( y^{\prime}=sin(t)sqrt(1-y^2) ),( y(0)=0 ):} $
Determino il dominio $ Omega $ di definizione della funzione $ f=sin(t)sqrt(1-y^2) $.
$ Omega: (t;y)rarr (-oo ;+oo )xx (-1;1) $
Verifico la continuità della derivata parziale della funzione rispetto alla $ y $
$ (partial f)/(partial y) =-(sin(t)*y)/sqrt(1-y^2) $
A questo punto vista la condizione iniziale del problema posso sfruttare il teorema di Cauchy Lipschitz e dire che esiste un'unica soluzione per $ y in (-1;1) $
Procedo per separazione di variabili
$ int_(0)^(y(t))dz/sqrt(1-z^2)= int_(0)^(t)sin(t) dt $
$ arcsin(y(t))-arcsin(0)=1-cos(t) $
esplicitando $ y(t) $ ottengo
$ y(t)=sin(1-cos(t)) $
adesso devo imporre che $ -1< y(t)< 1 $ sia affinchè valga il teorema di unicità locale, sia perchè la funzione $ sin() $ è invertibile solo nell'intervallo $ [-pi /2;pi /2] $ di cui devo escludere gli estremi. il che equivale a
$ pi /2<1-cos(t)
e trovo che l'intervallo massimale di definizione per la funzione $ y(t) $ trovata è
$ t in (-oo ;arccos(1-pi/2)) $
Vorrei sapere se il ragionamento che ho fatto per trovare l'intervallo massimale è corretto.
Ulteriore problema: il mio professore ha messo questo esercizio (insieme ad altri molto simili a questo) fra gli esempi di non unicità della soluzione, il che renderebbe tutto il mio svolgimento sbagliato dal momento che ho applicato il teorema di esistenza e unicità.. Che ne pensate?
Studiare il seguente problema di Cauchy:
$ { ( y^{\prime}=sin(t)sqrt(1-y^2) ),( y(0)=0 ):} $
Determino il dominio $ Omega $ di definizione della funzione $ f=sin(t)sqrt(1-y^2) $.
$ Omega: (t;y)rarr (-oo ;+oo )xx (-1;1) $
Verifico la continuità della derivata parziale della funzione rispetto alla $ y $
$ (partial f)/(partial y) =-(sin(t)*y)/sqrt(1-y^2) $
A questo punto vista la condizione iniziale del problema posso sfruttare il teorema di Cauchy Lipschitz e dire che esiste un'unica soluzione per $ y in (-1;1) $
Procedo per separazione di variabili
$ int_(0)^(y(t))dz/sqrt(1-z^2)= int_(0)^(t)sin(t) dt $
$ arcsin(y(t))-arcsin(0)=1-cos(t) $
esplicitando $ y(t) $ ottengo
$ y(t)=sin(1-cos(t)) $
adesso devo imporre che $ -1< y(t)< 1 $ sia affinchè valga il teorema di unicità locale, sia perchè la funzione $ sin() $ è invertibile solo nell'intervallo $ [-pi /2;pi /2] $ di cui devo escludere gli estremi. il che equivale a
$ pi /2<1-cos(t)
e trovo che l'intervallo massimale di definizione per la funzione $ y(t) $ trovata è
$ t in (-oo ;arccos(1-pi/2)) $
Vorrei sapere se il ragionamento che ho fatto per trovare l'intervallo massimale è corretto.
Ulteriore problema: il mio professore ha messo questo esercizio (insieme ad altri molto simili a questo) fra gli esempi di non unicità della soluzione, il che renderebbe tutto il mio svolgimento sbagliato dal momento che ho applicato il teorema di esistenza e unicità.. Che ne pensate?
Risposte
I problemi nascono quando la soluzione \(y(t)\) assume i valori \(\pm 1\)... Infatti, se ciò accadesse agli estremi di un intervallo \(]T_-,T^+[\), potresti prolungare la soluzione fuori da \(]T_-,T^+[\) ponendo:
\[
Y(t) := \begin{cases} -1 &\text{, se } t\leq T_- \\ y(t) &\text{, se } T_-
e tale funzione sarebbe una soluzione del problema diversa da quella che hai trovato.
In definitiva, ciò accade perché l'ipotesi di Lipschitzianità è irrimediabilmente persa in corrispondenza dei punti del tipo \((t,\pm 1)\) che pure appartengono all'insieme di definizione (e di continuità) del secondo membro.
Ma la costruzione di altre soluzioni non è difficile, poiché basta raccordare opportunamente rami di costanti e rami di soluzioni tipo quella determinata da te.
Computazionalmente, il problema nasce dal fatto che l'equazione che definisce l'integrale in forma implicita, i.e.:
\[
\arcsin y(t) = 1-\cos t\; ,
\]
non può essere esplicitata rispetto a \(y\) tanto alla leggera, poiché il secondo membro assume valori che sono fuori dall'immagine dell'arcoseno... In altre parole, fai bene i conti.
\[
Y(t) := \begin{cases} -1 &\text{, se } t\leq T_- \\ y(t) &\text{, se } T_-
e tale funzione sarebbe una soluzione del problema diversa da quella che hai trovato.
In definitiva, ciò accade perché l'ipotesi di Lipschitzianità è irrimediabilmente persa in corrispondenza dei punti del tipo \((t,\pm 1)\) che pure appartengono all'insieme di definizione (e di continuità) del secondo membro.
Ma la costruzione di altre soluzioni non è difficile, poiché basta raccordare opportunamente rami di costanti e rami di soluzioni tipo quella determinata da te.
Computazionalmente, il problema nasce dal fatto che l'equazione che definisce l'integrale in forma implicita, i.e.:
\[
\arcsin y(t) = 1-\cos t\; ,
\]
non può essere esplicitata rispetto a \(y\) tanto alla leggera, poiché il secondo membro assume valori che sono fuori dall'immagine dell'arcoseno... In altre parole, fai bene i conti.
Facendo i conti, trovi i seguenti fatti.
Dato che il secondo membro della EDO, i.e. \(f(t,y):=\sin t\ \sqrt{1-y^2}\), è definito e continuo nella striscia chiusa \(\Omega := \mathbb{R}\times [-1,1]\), il PdC ha soluzioni locali.
Visto che il secondo membro è limitato in \(\Omega\), le soluzioni locali del PdC si prolungano in soluzioni massimali definite in tutto \(\mathbb{R}\).
Tali integrali massimali sono di classe \(C^1(\mathbb{R})\) e sono pure di classe \(C^\infty\) intorno ad ogni punto \(t_0\) in cui essi non assumono i valori \(\pm 1\).
Dato che \(f\) non è lipschitziana in tutto \(\Omega\) poiché la condizione di Lipschitz non è soddisfatta sui punti di \(\partial \Omega\) (che sono comunque punti di continuità di \(f\)), fenomeni di non unicità possono occorrere quando (e se) il grafico della soluzione \(y(t)\) interseca le rette d'equazione \(y=\pm 1\).
La EDO ha due soluzioni stazionarie, i.e. \(y_*(t):=-1\) ed \(y^*(t)=1\), le quali sono anche caratterizzate dall'essere l'integrale massimale inferiore e l'integrale massimale superiore della EDO, nel senso che ogni altra soluzione massimale della EDO soddisfa le disuguaglianze \(y_*(t)=-1\leq y(t)\leq 1=y^*(t)\).
Inoltre, dato che \(f(t,y)> 0\) [risp. \(< 0\)] solo se:
\[
(t,y)\in \left] -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1] \qquad \text{[risp. } \in \left] \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1]\text{]}
\]
gli integrali massimali sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] quando i loro grafici cadono nei rettangoli \(R_k^+:=\left] -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1]\) [risp. \(R_k^- :=\left] \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1]\)] con \(k\in \mathbb{Z}\).
Nel caso di condizioni iniziali \((t_0,y_0)=(0,0)\), la soluzione locale del PdC è una funzione strettamente crescente ed è definita implicitamente in un intorno di \(t_0=0\) dall'equazione:
\[
\arcsin y = 1-\cos t\; .
\]
dato che:
\[
-\frac{\pi}{2}\leq 1-\cos t\leq \frac{\pi}{2} \qquad \Leftrightarrow \qquad 1-\frac{\pi}{2}\leq \cos t \qquad \Leftrightarrow \qquad -\arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)\leq t \leq \arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)
\]
la soluzione locale è definita in \(I=]-\arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right) , \arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)[\) ed è quella che assegna:
\[
y(t) = \sin (1-\cos t)
\]
per \(t\in I\).
Per noti fatti, tale integrale può esere prolungato in un integrale massimale. Dato che:
\[
y\left(\pm \arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sin \left( \frac{\pi}{2}\right) = 1
\]
negli estremi dell'intervallo \(I\) il grafico della soluzione locale \(y\) tocca \(\partial \Omega\), cioé va a finire contro l'insieme dei punti di \(\Omega\) in cui si perde la condizione di Lipschitz ed insorgono problemi di nonunicità.
A questo punto, possiamo facilmente determinare infiniti integrali massimali distinti che siano tutti prolungamento dell'unico integrale locale \(y\).
Infatti, un primo integrale massimale che prolunghi \(y\) è certamente:
\[
y_1(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in I\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus I\; ;
\end{cases}
\]
[asvg]xmin=-6; xmax=24; ymin=-1; ymax=1;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; plot("sin(1-cos(x))", -2.178, 2.178); line([-7,1],[-2.178,1]); line([2.178,1],[25,1]);[/asvg]
mentre un altro è:
\[
y_2(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in T:=\bigcup_{k=-\infty}^\infty I+2k\pi\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus T\; ,
\end{cases}
\]
[asvg]xmin=-6; xmax=24; ymin=-1; ymax=1;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; line([-10.388,1],[-8.461,1]); plot("sin(1-cos(x))", -8.461,-4.105); line([-4.105,1],[-2.178,1]);
plot("sin(1-cos(x))", -2.178, 2.178);
line([2.178,1],[4.105,1]); plot("sin(1-cos(x))", 4.105, 8.461); line([8.461,1],[10.388,1]); plot("sin(1-cos(x))",10.388, 14.745); line([14.745,1],[16.671,1]); plot("sin(1-cos(x))",16.671, 21.028); line([21.028,1],[22.954,1]); plot("sin(1-cos(x))",22.954, 27.311);[/asvg]
ed ancora un altro paio sono:
\[
y_3(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in T^-:=\bigcup_{k=-\infty}^0 I+2k\pi\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus T^-\; ,
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad y_4(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in T^+:=\bigcup_{k=0}^\infty I+2k\pi\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus T^+\; ,
\end{cases}
\]
[asvg]xmin=-6; xmax=24; ymin=-1; ymax=1;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2; line([-7,1],[-2.178,1]);
plot("sin(1-cos(x))", -2.178, 2.178);
line([2.178,1],[4.105,1]); plot("sin(1-cos(x))", 4.105, 8.461); line([8.461,1],[10.388,1]); plot("sin(1-cos(x))",10.388, 14.745); line([14.745,1],[16.671,1]); plot("sin(1-cos(x))",16.671, 21.028); line([21.028,1],[22.954,1]); plot("sin(1-cos(x))",22.954, 27.311);[/asvg]
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plot("sin(1-cos(x))", -2.178, 2.178);line([2.178,1],[25,1]);[/asvg]
Altri integrali massimali (infiniti!) si ottengono raccordando opportunamente segmenti sulla retta di equazione \(y=1\) (corrispondenti a restrizioni dell'integrale massimale superiore) e tratti di grafico ottenuti traslando il grafico di \(y(t)\).
Dato che il secondo membro della EDO, i.e. \(f(t,y):=\sin t\ \sqrt{1-y^2}\), è definito e continuo nella striscia chiusa \(\Omega := \mathbb{R}\times [-1,1]\), il PdC ha soluzioni locali.
Visto che il secondo membro è limitato in \(\Omega\), le soluzioni locali del PdC si prolungano in soluzioni massimali definite in tutto \(\mathbb{R}\).
Tali integrali massimali sono di classe \(C^1(\mathbb{R})\) e sono pure di classe \(C^\infty\) intorno ad ogni punto \(t_0\) in cui essi non assumono i valori \(\pm 1\).
Dato che \(f\) non è lipschitziana in tutto \(\Omega\) poiché la condizione di Lipschitz non è soddisfatta sui punti di \(\partial \Omega\) (che sono comunque punti di continuità di \(f\)), fenomeni di non unicità possono occorrere quando (e se) il grafico della soluzione \(y(t)\) interseca le rette d'equazione \(y=\pm 1\).
La EDO ha due soluzioni stazionarie, i.e. \(y_*(t):=-1\) ed \(y^*(t)=1\), le quali sono anche caratterizzate dall'essere l'integrale massimale inferiore e l'integrale massimale superiore della EDO, nel senso che ogni altra soluzione massimale della EDO soddisfa le disuguaglianze \(y_*(t)=-1\leq y(t)\leq 1=y^*(t)\).
Inoltre, dato che \(f(t,y)> 0\) [risp. \(< 0\)] solo se:
\[
(t,y)\in \left] -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1] \qquad \text{[risp. } \in \left] \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1]\text{]}
\]
gli integrali massimali sono strettamente crescenti [risp. strettamente decrescenti] quando i loro grafici cadono nei rettangoli \(R_k^+:=\left] -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1]\) [risp. \(R_k^- :=\left] \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right[\times [-1,1]\)] con \(k\in \mathbb{Z}\).
Nel caso di condizioni iniziali \((t_0,y_0)=(0,0)\), la soluzione locale del PdC è una funzione strettamente crescente ed è definita implicitamente in un intorno di \(t_0=0\) dall'equazione:
\[
\arcsin y = 1-\cos t\; .
\]
dato che:
\[
-\frac{\pi}{2}\leq 1-\cos t\leq \frac{\pi}{2} \qquad \Leftrightarrow \qquad 1-\frac{\pi}{2}\leq \cos t \qquad \Leftrightarrow \qquad -\arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)\leq t \leq \arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)
\]
la soluzione locale è definita in \(I=]-\arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right) , \arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)[\) ed è quella che assegna:
\[
y(t) = \sin (1-\cos t)
\]
per \(t\in I\).
Per noti fatti, tale integrale può esere prolungato in un integrale massimale. Dato che:
\[
y\left(\pm \arccos \left( 1-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sin \left( \frac{\pi}{2}\right) = 1
\]
negli estremi dell'intervallo \(I\) il grafico della soluzione locale \(y\) tocca \(\partial \Omega\), cioé va a finire contro l'insieme dei punti di \(\Omega\) in cui si perde la condizione di Lipschitz ed insorgono problemi di nonunicità.
A questo punto, possiamo facilmente determinare infiniti integrali massimali distinti che siano tutti prolungamento dell'unico integrale locale \(y\).
Infatti, un primo integrale massimale che prolunghi \(y\) è certamente:
\[
y_1(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in I\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus I\; ;
\end{cases}
\]
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mentre un altro è:
\[
y_2(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in T:=\bigcup_{k=-\infty}^\infty I+2k\pi\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus T\; ,
\end{cases}
\]
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ed ancora un altro paio sono:
\[
y_3(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in T^-:=\bigcup_{k=-\infty}^0 I+2k\pi\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus T^-\; ,
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad y_4(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } t\in T^+:=\bigcup_{k=0}^\infty I+2k\pi\\
1 &\text{, se } t\in \mathbb{R}\setminus T^+\; ,
\end{cases}
\]
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[asvg]xmin=-6; xmax=24; ymin=-1; ymax=1;
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plot("sin(1-cos(x))", -2.178, 2.178);line([2.178,1],[25,1]);[/asvg]
Altri integrali massimali (infiniti!) si ottengono raccordando opportunamente segmenti sulla retta di equazione \(y=1\) (corrispondenti a restrizioni dell'integrale massimale superiore) e tratti di grafico ottenuti traslando il grafico di \(y(t)\).
Non so come ringraziarti, sei stato chiarissimo e mi hai risolto un bel po' di dubbi.
Auguro a tutti buone feste
Auguro a tutti buone feste
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