Non Trovo Le Autofunzioni :(
Problema: Trovare autovalori e autofunzioni della seguente:
$ x^2 y''(x) + x y'(x) + \lambda y(x) = 0, \qquad 1 \leq x \leq 2, \qquad y(1)=y(2)=0$
Quello che ho fatto: sostituisco $ y(x) = x^k $ e trovo $ k^2 + \lambda = 0$, quindi la soluzione
generale è:
$ y(x) = A x^{\sqrt{-\lambda}} + B x^{-sqrt{-\lambda}} $
Ora se sostituisco in $y(1) = 0$ e $y(2) = 0$ ottengo solo la soluzione $y(x) \equiv 0$, non mi sembra
possibile dato che il punto dopo del problema chiede di verificare che le autofunzioni sono ortogonali...
Dove sto sbagliando?
$ x^2 y''(x) + x y'(x) + \lambda y(x) = 0, \qquad 1 \leq x \leq 2, \qquad y(1)=y(2)=0$
Quello che ho fatto: sostituisco $ y(x) = x^k $ e trovo $ k^2 + \lambda = 0$, quindi la soluzione
generale è:
$ y(x) = A x^{\sqrt{-\lambda}} + B x^{-sqrt{-\lambda}} $
Ora se sostituisco in $y(1) = 0$ e $y(2) = 0$ ottengo solo la soluzione $y(x) \equiv 0$, non mi sembra
possibile dato che il punto dopo del problema chiede di verificare che le autofunzioni sono ortogonali...
Dove sto sbagliando?
Risposte
Mi sa che il caso "interessante" è per $\lambda < 0$.
"Fioravante Patrone":
Mi sa che il caso "interessante" è per $\lambda < 0$.
Intanto ti ringrazio per la risposta, ma ancora non capisco come procedere. Cioè se sostituisco la prima condizione ottengo:
$ y(1) = A + B = 0 \Rightarrow B = - A $
la seconda condizione poi impone:
$ y(2) = A(2^{\sqrt{\lambda}} - 2^{\sqrt{-\lambda}}) = 0 $
e da qui arrivo a $ 2^{\lambda} = \pm 1 $. Gli autovalori sono le soluzioni di questa magari??
Mmmm.. gli autovalori dovrebbero essere reali però, non funziona
Non so, io ho ragionato per analogia con:
$y'' + y = 0$
e
$y'' - y = 0$
La prima ha per soluzione le funzioni trigonometriche e il pb ai limiti omogeneo ha soluzioni non banali.
La seconda ha invece come soluzioni esponenziali e il pb ai limiti omogeneo ha solo soluzioni banali.
$y'' + y = 0$
e
$y'' - y = 0$
La prima ha per soluzione le funzioni trigonometriche e il pb ai limiti omogeneo ha soluzioni non banali.
La seconda ha invece come soluzioni esponenziali e il pb ai limiti omogeneo ha solo soluzioni banali.
"Fioravante Patrone":
Non so, io ho ragionato per analogia con:
$y'' + y = 0$
e
$y'' - y = 0$
La prima ha per soluzione le funzioni trigonometriche e il pb ai limiti omogeneo ha soluzioni non banali.
La seconda ha invece come soluzioni esponenziali e il pb ai limiti omogeneo ha solo soluzioni banali.
Ecco appunto, anche la mia dovrebbe avere soluzioni non banali. Boh, adesso spulcio un po' su internet.
Scusa Picrill, ma per quali valori è verificata $2^(\sqrt(|lambda|))-1/2^(\sqrt(|lambda|))=0$?
Fai attenzione...
P.S.: Napoletano anche tu, per caso?
Fai attenzione...
P.S.: Napoletano anche tu, per caso?
"Gugo82":
Scusa Picrill, ma per quali valori è verificata $2^(\sqrt(|lambda|))-1/2^(\sqrt(|lambda|))=0$?
Fai attenzione...
P.S.: Napoletano anche tu, per caso?
uhm hai ragione gugo, non mi ero accorto che lambda viene $ (\frac{n \pi}{\log 2})^2 $ che è reale, colpa mia.
Sono di Parma, come mai pensavi Napoli?
Aspe'... Da dove salta fuori $pi$?
Visto che l'equazione "caratteristica" è $2^(\sqrt(|lambda|))-1/2^(\sqrt(|lambda|))=0$, non dovresti trovare $2^(2\sqrt(|lambda|))-1=0$, quindi $2\sqrt(|lambda|)=0$ ed infine $lambda =0$?
[OT]
Pensavo napoletano perchè il tuo nick sembra la trascrizione fonetica di un aggettivo, piccerillo, che in dialetto significa piccolo.
[/OT]
Visto che l'equazione "caratteristica" è $2^(\sqrt(|lambda|))-1/2^(\sqrt(|lambda|))=0$, non dovresti trovare $2^(2\sqrt(|lambda|))-1=0$, quindi $2\sqrt(|lambda|)=0$ ed infine $lambda =0$?
[OT]
Pensavo napoletano perchè il tuo nick sembra la trascrizione fonetica di un aggettivo, piccerillo, che in dialetto significa piccolo.
[/OT]
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