Non so come calcolare un limite
Salve, dovrei calcolare il limite per $n$ che tende a più infinito della funzione $sum_(k= 1)^(n) (9/n)sqrt((9k)/n)$, ma non ci riesco. Come posso fare? Grazie in anticipo!
Risposte
Ma \(\left( \frac{9}{n}\right)\) è proprio la frazione "nove $n$-esimi"?
Se sì, allora la tua somma si riscrive:
\[
\frac{27}{n\sqrt{n}}\ \sum_{k=1}^n\sqrt{k}
\]
e non è difficile intuire che puoi controllare la sommatoria con due integrali.
Se sì, allora la tua somma si riscrive:
\[
\frac{27}{n\sqrt{n}}\ \sum_{k=1}^n\sqrt{k}
\]
e non è difficile intuire che puoi controllare la sommatoria con due integrali.
"gugo82":
Ma \(\left( \frac{9}{n}\right)\) è proprio la frazione "nove $n$-esimi"?
Sisi!
Dalle osservazioni di Gugo il limite esiste, inoltre può essere calcolato, infatti
Beh, allora tieni presente che:
\[
\int_0^n \sqrt{x}\ \text{d} x\leq \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \leq \int_1^{n+1} \sqrt{x}\ \text{d} x
\]
per la monotonia della radice e la proprietà additiva dell'integrale.
@ .sm.: La seconda uguaglianza non è così "immediata". Però il ragionamento è giusto; basta solo giustificare bene la cosa.
\[
\int_0^n \sqrt{x}\ \text{d} x\leq \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \leq \int_1^{n+1} \sqrt{x}\ \text{d} x
\]
per la monotonia della radice e la proprietà additiva dell'integrale.
@ .sm.: La seconda uguaglianza non è così "immediata". Però il ragionamento è giusto; basta solo giustificare bene la cosa.
Allora, facciamo finta che il capitolo "integrali" non esistesse in matematica. Come faccio a calcolare il mio limite? Ovviamente non tirando in ballo gli integrali...
@ gugo: ho riscritto la sommatoria come hai fatto tu, ma non riesco a capire come calcolare il limite per $n$ tendente a più infinito.
@ gugo: ho riscritto la sommatoria come hai fatto tu, ma non riesco a capire come calcolare il limite per $n$ tendente a più infinito.
"gugo82":
Beh, allora tieni presente che:
\[
\int_0^n \sqrt{x}\ \text{d} x\leq \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \leq \int_1^{n+1} \sqrt{x}\ \text{d} x
\]
per la monotonia della radice e la proprietà additiva dell'integrale.
@ .sm.: La seconda uguaglianza non è così "immediata". Però il ragionamento è giusto; basta solo giustificare bene la cosa.
Ok, dalla tua disuguaglianza:
\[
\int_0^n \sqrt{x}\ \text{d} x\leq \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \leq \int_1^{n+1} \sqrt{x}\ \text{d} x
\]
Si ottiene \[
2/3 \leq \lim_n \frac{\sum_{k=1}^n \sqrt{k}}{n \sqrt{n}} \leq2/3
\]
Dunque si conclude.
In alternativa non posso giustificare affermando che $\sqrt{x}$ è continua (allora integrabile) e dunque il valore del limite della somma di Riemann coincide con quello dell'integrale?
"lisdap":
Allora, facciamo finta che il capitolo "integrali" non esistesse in matematica.
Ok, ora faccio finta di saperne quanto te degli integrali...
Ricordo il seguente teorema (una versione discreta del teorema del Marchese):
Siano $(a_n),(b_n)$ due successioni reali.
Se:
1) $(b_n)$ è positiva, strettamente crescente e non limitata;
2) esiste finito il \(\lim_n \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\);
allora la successione di termine generale $\frac{a_n}{b_n}$ è convergente e risulta:
\[
\lim_n \frac{a_n}{b_n} = \lim_n \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\; .
\]
Nel tuo caso puoi scrivere:
\[
\sum_{k=1}^n \frac{9}{n}\ \sqrt{\frac{9k}{n}} = 27\ \frac{\overbrace{\sum_{k=1}^n \sqrt{k}}^{\color{maroon}{=: a_n}}}{\underbrace{\sqrt{n^3}}_{\color{maroon}{=: b_n}}}
\]
e cercare di applicare il teorema precedente. La successione di termine generale \(b_n=\sqrt{n^3}\) soddisfa la (1); d'altra parte si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} &= \lim_n \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3}-\sqrt{n^3}}\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n+1} (\sqrt{(n+1)^3} +\sqrt{n^3})}{(n+1)^3-n^3}\\
&= \lim_n \frac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1}\ \left( 1+ \sqrt{\frac{n^3}{(n+1)^3}}\right)\\
&= \frac{2}{3}
\end{split}
\]
quindi è soddisfatta anche la (2); invocando il teorema, hai:
\[
\begin{split}
\lim_n \sum_{k=1}^n \frac{9}{n}\ \sqrt{\frac{9k}{n}} &= 27\ \lim_n \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3}-\sqrt{n^3}} \\
&=27\cdot \frac{2}{3} \\
&=18
\end{split}
\]
come già determinato per altre vie.
"gugo82":
Ok, ora faccio finta di saperne quanto te degli integrali...
Ho imparato parecchio ultimamente (per l'esame però ancora non è ora), Magari quando mi sento pronto mi faccio interrogare da te in modo tale da dimostrarti che sono cambiato
"gugo82":
Ricordo il seguente teorema (una versione discreta del teorema del Marchese):
Siano $(a_n),(b_n)$ due successioni reali.
Se:
1) $(b_n)$ è positiva, strettamente crescente e non limitata;
2) esiste finito il \(\lim_n \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\);
allora la successione di termine generale $\frac{a_n}{b_n}$ è convergente e risulta:
\[
\lim_n \frac{a_n}{b_n} = \lim_n \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\; .
\]
Nel tuo caso puoi scrivere:
\[
\sum_{k=1}^n \frac{9}{n}\ \sqrt{\frac{9k}{n}} = 27\ \frac{\overbrace{\sum_{k=1}^n \sqrt{k}}^{\color{maroon}{=: a_n}}}{\underbrace{\sqrt{n^3}}_{\color{maroon}{=: b_n}}}
\]
e cercare di applicare il teorema precedente. La successione di termine generale \(b_n=\sqrt{n^3}\) soddisfa la (1); d'altra parte si ha:
\[
\begin{split}
\lim_n \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} &= \lim_n \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3}-\sqrt{n^3}}\\
&= \lim_n \frac{\sqrt{n+1} (\sqrt{(n+1)^3} +\sqrt{n^3})}{(n+1)^3-n^3}\\
&= \lim_n \frac{(n+1)^2}{3n^2+3n+1}\ \left( 1+ \sqrt{\frac{n^3}{(n+1)^3}}\right)\\
&= \frac{2}{3}
\end{split}
\]
quindi è soddisfatta anche la (2); invocando il teorema, hai:
\[
\begin{split}
\lim_n \sum_{k=1}^n \frac{9}{n}\ \sqrt{\frac{9k}{n}} &= 27\ \lim_n \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3}-\sqrt{n^3}} \\
&=27\cdot \frac{2}{3} \\
&=18
\end{split}
\]
come già determinato per altre vie.
Bene, grazie!
Ciao, mi sono "impicciato" di nuovo. Ho la funzione $(t,t^2)$, $t in [0,4]$ e volevo calcolare la lunghezza del grafico dell'insieme delle immagini. Dopo molti conti (che spero siano giusti) ho concluso che devo calcolare il limite per $n->+oo$ della funzione (di una variabile a valori reali) $(4/n^2)*sum_(k=1)^n sqrt(n^2+64k^2-64k+16)$.
Suggerimenti? (sempre ammesso che ho fatto bene i conti e impostato correttamente il procedimento per calcolare questa lunghezza)
Grazie.
Suggerimenti? (sempre ammesso che ho fatto bene i conti e impostato correttamente il procedimento per calcolare questa lunghezza)
Grazie.
"lisdap":
...e volevo calcolare la lunghezza del grafico dell'insieme delle immagini.
Scusa la mia volgarità, per caso devi calcolare la lunghezza della curva? Voglio dire, se devo comprare un armadio, quando mi reco dal venditore, se gli dico "Vorrei un oggetto probabilmente costruito in legno dotato di ante e cassetti dove gli uomini sono soliti riporre i propri vestiti.", scommetto un caffè che il venditore mi dirà "Stai per caso parlando di un armadio?". Lo dico perchè, almeno con certe persone, puoi tranquillamente evitare di esprimerti in quel modo. A mio parere, un po' faticoso e poco sintetico.
Si, quella (in altre parole lo spazio percorso da un punto materiale che si muove con quella legge oraria).
Ciao lisdap e ben tornato. Non me ne volere per quello che ho scritto. Tornando al tuo problema, hai per caso deciso di calcolare tutti gli integrali mediante le serie? Non mi sembra una buona idea. Voglio dire, capita l'equivalenza, adotterei il procedimento più pratico.
Grazie per il ben tornato. Ho dovuto limitare di parecchio l'uso del pc, perchè mi crea problemi con il sonno.
Comunque, ritornando al topic, non ho voluto utilizzare il termine "lunghezza della curva" perchè secondo me è un pò impreciso. Comunque, questione di gusti.
Voglio calcolare questa lunghezza in questo modo semplicemente perché, prima di arrivare al calcolo di un semplice integrale di Riemann, si è passati necessariamente per questa strada più complicata e noiosa!
Comunque, ritornando al topic, non ho voluto utilizzare il termine "lunghezza della curva" perchè secondo me è un pò impreciso. Comunque, questione di gusti.
Voglio calcolare questa lunghezza in questo modo semplicemente perché, prima di arrivare al calcolo di un semplice integrale di Riemann, si è passati necessariamente per questa strada più complicata e noiosa!
"speculor":
...capita l'equivalenza, adotterei il procedimento più pratico.
In altre parole, fregatene. Nella malaugurata ipotesi ti dovessi trovare a calcolare un integrale mediante una serie, perchè l'esercizio lo chiede esplicitamente o per motivi di lavoro, ti concentrerai su quel problema in particolare. Io stesso non saprei se, mettendomi lì, riuscirei a portare a termine quel calcolo. Tuttavia, la cosa non provoca in me alcun tipo di frustrazione. Sono ben altre le cose che meritano di essere ponderate, mi riferisco alla comprensione profonda di un concetto per esempio. Qui il concetto è che puoi calcolare un integrale mediante una serie. E questo l'hai sicuramente compreso. Questo è quanto. Mi spieghi che senso ha voler calcolare diversamente proprio quell'integrale e non un altro? Tornando al problema in questione, lascio a gugo82 l'incombenza, sempre che abbia voglia di farlo. Se non altro, è molto più probabile che ci riesca o che ci metta meno tempo di me.
"lisdap":
...non ho voluto utilizzare il termine "lunghezza della curva" perchè secondo me è un pò impreciso.
E' più preciso dire "armadio" oppure "oggetto probabilmente costruito in legno dotato di ante e cassetti dove gli uomini sono soliti riporre i propri vestiti.". Voglio dire, una volta che ti sei impadronito di un concetto, puoi tranquillamente utilizzare le convenzioni del linguaggio.
Posta i conti.
P.S.: La curva in questione è regolarissima, quindi c'è una formula semplice che consente il calcolo della lunghezza.
P.S.: La curva in questione è regolarissima, quindi c'è una formula semplice che consente il calcolo della lunghezza.
Allora, detta $f_2$ la curva, ho impostato la sommatoria $ sum_(k=1)^(n) ||f_2 (k*(4/n))-f_2 ((k-1)*(4/n))||$, dove $|| ||$ è la funzione norma. La lunghezza della curva è data dal limite per $n->+oo$ della funzione somma sopra scritta (sempre se tale limite esiste ed è finito).
Ci siamo?
Ci siamo?
"lisdap":
non ho voluto utilizzare il termine "lunghezza della curva" perchè secondo me è un pò impreciso.
Cosa?...
"lisdap":
Comunque, questione di gusti.
No, non è questione di gusti.
Utilizzare la definizione al posto del teorema è questione di masochismo.
"lisdap":
Voglio calcolare questa lunghezza in questo modo semplicemente perché, prima di arrivare al calcolo di un semplice integrale di Riemann, si è passati necessariamente per questa strada più complicata e noiosa!
Cosa?...
Certo che su questo forum è impossibile non incavolarsi.......ok, c'è il teorema e la formuletta bella e pronta; ma quando il teorema e la formuletta bella e pronta non esistevano, come credi che facevano? Facendosi un mazzo tanto....
Voglio calcolare almeno una lunghezza in questo modo, senza scorciatoie. Non capisco perchè la mia intenzione di fare questa cosa ti faccia storcere il naso...boh...
Voglio calcolare almeno una lunghezza in questo modo, senza scorciatoie. Non capisco perchè la mia intenzione di fare questa cosa ti faccia storcere il naso...boh...
"lisdap":
Certo che su questo forum è impossibile non incavolarsi...
Come ti capisco... Povero ragazzo.
"lisdap":
ok, c'è il teorema e la formuletta bella e pronta; ma quando il teorema e la formuletta bella e pronta non esistevano, come credi che facevano? Facendosi un mazzo tanto...
In realtà la "formuletta" (che si ricava in maniera molto intuitiva ragionando in termini di differenziali) era utilizzata ben prima di avere una definizione rigorosa del concetto di lunghezza di una curva.
Infatti, che la lunghezza di una curva fosse rappresentabile mediante un integrale era cosa nota già a Fermat nel 1660, prima ancora che il Calcolo Differenziale ed Integrale fosse formalizzato in maniera soddisfacente (ricordo che i Principia di Newton sono del 1687 ed i lavori di Leibniz sul Calcolo sono del 1675).
Quindi quello che è mancato fino alla fine del 1800, non era la "formuletta", bensì una definizione decente e sufficientemente generale di integrale definito la quale giustificasse in modo definitivo e rendesse leciti senza ombra di dubbio i conti che si erano fatti in passato (la cui validità "empirica" era già fuori di ogni dubbio, perchè il "metodo di calcolo con gli integrali" funzionava bene in tutti i casi interessanti cui era stato applicato).
Una volta data una soddifacente definizione d'integrale (la prima, che funzionava benissimo per le funzioni continue, è del 1820 circa e dovuta a Cauchy; mentre quella classica di Riemann è del 1854), la definizione di lunghezza come integrale del modulo della derivata era lecita e così pure tutti i conti che erano stati fatti in passato.
Successivamente, visto che era evidente che si potesse assegnare una lunghezza pure a curve non regolari (pensa per esempio ai poligoni, che non sono derivabili nei vertici), sorse il problema di dare una definizione generale pure della "lunghezza di una curva" la quale prescindesse dalla proprietà di regolarità delle parametrizzazioni.
Questa definizione fu data da Frechét, se non erro all'inizio del '900, il quale mise in luce la possibilità di definire la lunghezza di una curva come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali in essa inscritte (o, come si dice correttamente in Analisi, come la variazione totale di una sua parametrizzazione): questa definizione più generale è lecita perchè, nel caso in cui una curva sia regolare, la lunghezza calcolata mediante le poligonali è identica a quella calcolata con l'integrale.
***
Chiusa la parentesi storica, una piccola nota (che vale tanto per te, quanto per molti studenti di Matematica).
Quello che stenti a capire è cha la Matematica nasce "semplice"; ma si complica man mano che si esplora la natura dei suoi concetti.
La complicazione, l'astrazione e la generalizzazione dei concetti e dei metodi sono sempre "successive" alla loro invenzione e si devono sempre misurare contro i risultati ottenuti in maniera "ingenua".
Detta in altro modo, la Matematica, come tutte le altre scienze, si sviluppa sempre dal "particolare" al "generale"; quindi le cose già note (anche secondo metodi "poco ortodossi") sono banchi di prova per le successive generalizzazioni.
D'altra parte è questo che intendevano i Bourbaki, quando paragonavano la Matematica ad:
una grande città, i cui sobborghi non cessano di progredire, a volte in maniera un po' caotica, sul terreno circostante; mentre il centro viene periodicamente ricostruito, ogni volta con un piano più chiaro e un ordinamento più maestoso, buttando giù i vecchi quartieri e i loro dedali di viuzze, per indirizzare verso la periferia corsi sempre più diretti, larghi e comodi
(cfr. Elementi di Storia della Matematica).
"lisdap":
Voglio calcolare almeno una lunghezza in questo modo, senza scorciatoie. Non capisco perchè la mia intenzione di fare questa cosa ti faccia storcere il naso...boh...
L'argomento è quello illustrato da speculor; se vuoi, è una specie di principio di minima azione.
Quando non c'è un fondato motivo di complicare le cose, è bene non complicarle.
@Lisdap.
Per una volta permettimi d'intervenire,sebbene in modo un pò anomalo,sperando che possa esserti utile:
mi calcoli la distanza di $P=(3,2)$ dalla retta $r$ di equazione $4x+3y-8=0$?
Fà il conto di non conoscere la formuletta in merito,ovviamente;
prenderai allora il fascio $F$ di rette passanti per il punto proprio $P$,
e poi tra esse ti scegli quella perpendicolare ad $r$ fissando,al posto del coefficente angolare parametrico di $F$,
il coefficiente angolare antireciproco di quello della $r$:
infine ti cerchi,con un sistema lineare la cui risoluzione è piacevole e poco ripetitiva quanto un GP di Schumi ai tempi "belli"
(si vede che preferisco il buon Fernando,che compete per il titolo iridato anche con la macchina non superiore alle altre?),
le coordinate del punto d'intersezione $P_H$ tra tali rette,
e concludi col calcolo della distanza tra $P$ e $P_H$..
Arriverai a concludere che tal distanza è 2,
e poi guarderai la dimostrazione di quella formuletta:
t'accorgerai che è solo la generalizzazione del tuo procedimento,
e ti mangerai le mani per non esserti fidato subito..
Oppure dirai a te stesso
"và bene,esperienza costruttiva perchè avevo ben intuito e,in fondo,quel tizio che ha dimostrato quella cosa m'ha dato conferma che avevo capito tutto..ora posso credere alle sue parole,e scrivere per sempre quella formuletta nelle mie conoscenze";
ed io sarei pure d'accordo,
se non fosse che tu vuoi ripetere la medesima esperienza per ognuno degli argomenti "più alti" coi quali t'imbatti e t'imbatterai:
ma tu non sei il(o i..)matematico(/i..)(*)che per primo è incappato in quell'argomento,
perchè sei nato dopo con prò e contro..
Tra i prò c'è il fatto che,se ti fidi,potrai risparmiarti il tempo sottratto al sonno,ed i mal di testa,
coi quali lui(loro..)hanno dovuto fare i conti nella prima fase,e nelle successive,d'approccio a quel certo problema;
anche perchè spesso hanno impegnato quantità notevoli di menti eccelse e son durate secoli
(pensa che l'Analisi Infinitesimale pare che abbia avuto la sua prima scintilla con Archimede,
che voleva calcolare approssimazioni di $pi$ a cifre decimali sconosciute ai suoi contemporanei..):
questo tempo non c'è dato,
così come non c'è dato di poter viver tutte le sensazioni e le frustazioni che,in cerca della catarsi del momento di Luce,
ha vissuto ogni matematico(*) della Storia!
E' dato però,a chiunque senta l'esigenza intellettuale di farlo,di provare a immaginare i suoi(loro..)percorsi conoscitivi,
e grazie a ciò farci magari un'idea un pò più profonda degli argomenti che man mano trattiamo;
ciò accade mentre lavoriamo,spesso con tanta fatica e breve soddisfazione,per apprendere i frutti del suo(loro..)Pensiero,
anche perchè spesso quell'esigenza è uno(ma non il solo..)dei naturali complementi della curiosità:
cioè di quel meraviglioso moto dello Spirito che spinge ogni studioso,
non interessato esclusivamente al ciclo(tra l'altro sempre più infrequente..) Laurea$rArr$Lavoro$rArr$Tutto il resto,
e che,gestendola meglio di come mi sembra tu faccia,potrà far in futuro la differenza tra te ed un collega..
Quei percorsi riusciamo ad immaginarli,e se ne sentiamo l'esigenza a studiarli senza la pretesa di riveverli "in toto",
mentre godiamo,stupefatti e "grati",di quanto arrivato a noi di quel Pensiero,
che avremo poi il privilegio di far evolvere ulteriormente,in sè e per sè o ben sfruttandolo in "altri" campi,
per quanto c'è dato di riuscire a fare nella storia in continua evoluzione dell'essere umano;
voglio insomma dirti che,ti piaccia o no,
è bene che tu conosca e ti sia fatto un'idea approfondita del funzionamento del primo motore a scoppio:
ma non hai alcun bisogno,per costruire certi bolidi o qualche altra invenzione che parta da quella matrice,
di riviver ogni fallimento di Bersanti prima d'arrivare a costruirlo,
e sopratutto non hai ragione di non impiegare nella ricerca dell'ignoto il(presumibilmente tanto..)tempo che hai risparmiato grazie al suo lavoro!
Fidati del lavoro delle menti che t'han preceduto,insomma,e sfruttalo per completarlo:
il piacere di quella scoperta rimarrà loro per sempre,tanto,
ma nessuno potrà toglierti quello che,magari una volta sola nella Vita(spero di più,chiaro..),
proverai sfruttando le conoscenze regresse in modo un pò più equilibrato!
Perdonami questo papello:
saluti dal web.
P.S.(*)In questo contesto intendo con tal termine chiunque,
dai Fisici agli Agronomi passando per Ingegneri ed Economisti e chi più ne ha più ne metta,
abbia contribuito a creazione e/o comprensione e/o risoluzione di problemi scientifici e pratici..
Per una volta permettimi d'intervenire,sebbene in modo un pò anomalo,sperando che possa esserti utile:
mi calcoli la distanza di $P=(3,2)$ dalla retta $r$ di equazione $4x+3y-8=0$?
Fà il conto di non conoscere la formuletta in merito,ovviamente;
prenderai allora il fascio $F$ di rette passanti per il punto proprio $P$,
e poi tra esse ti scegli quella perpendicolare ad $r$ fissando,al posto del coefficente angolare parametrico di $F$,
il coefficiente angolare antireciproco di quello della $r$:
infine ti cerchi,con un sistema lineare la cui risoluzione è piacevole e poco ripetitiva quanto un GP di Schumi ai tempi "belli"
(si vede che preferisco il buon Fernando,che compete per il titolo iridato anche con la macchina non superiore alle altre?),
le coordinate del punto d'intersezione $P_H$ tra tali rette,
e concludi col calcolo della distanza tra $P$ e $P_H$..
Arriverai a concludere che tal distanza è 2,
e poi guarderai la dimostrazione di quella formuletta:
t'accorgerai che è solo la generalizzazione del tuo procedimento,
e ti mangerai le mani per non esserti fidato subito..
Oppure dirai a te stesso
"và bene,esperienza costruttiva perchè avevo ben intuito e,in fondo,quel tizio che ha dimostrato quella cosa m'ha dato conferma che avevo capito tutto..ora posso credere alle sue parole,e scrivere per sempre quella formuletta nelle mie conoscenze";
ed io sarei pure d'accordo,
se non fosse che tu vuoi ripetere la medesima esperienza per ognuno degli argomenti "più alti" coi quali t'imbatti e t'imbatterai:
ma tu non sei il(o i..)matematico(/i..)(*)che per primo è incappato in quell'argomento,
perchè sei nato dopo con prò e contro..
Tra i prò c'è il fatto che,se ti fidi,potrai risparmiarti il tempo sottratto al sonno,ed i mal di testa,
coi quali lui(loro..)hanno dovuto fare i conti nella prima fase,e nelle successive,d'approccio a quel certo problema;
anche perchè spesso hanno impegnato quantità notevoli di menti eccelse e son durate secoli
(pensa che l'Analisi Infinitesimale pare che abbia avuto la sua prima scintilla con Archimede,
che voleva calcolare approssimazioni di $pi$ a cifre decimali sconosciute ai suoi contemporanei..):
questo tempo non c'è dato,
così come non c'è dato di poter viver tutte le sensazioni e le frustazioni che,in cerca della catarsi del momento di Luce,
ha vissuto ogni matematico(*) della Storia!
E' dato però,a chiunque senta l'esigenza intellettuale di farlo,di provare a immaginare i suoi(loro..)percorsi conoscitivi,
e grazie a ciò farci magari un'idea un pò più profonda degli argomenti che man mano trattiamo;
ciò accade mentre lavoriamo,spesso con tanta fatica e breve soddisfazione,per apprendere i frutti del suo(loro..)Pensiero,
anche perchè spesso quell'esigenza è uno(ma non il solo..)dei naturali complementi della curiosità:
cioè di quel meraviglioso moto dello Spirito che spinge ogni studioso,
non interessato esclusivamente al ciclo(tra l'altro sempre più infrequente..) Laurea$rArr$Lavoro$rArr$Tutto il resto,
e che,gestendola meglio di come mi sembra tu faccia,potrà far in futuro la differenza tra te ed un collega..
Quei percorsi riusciamo ad immaginarli,e se ne sentiamo l'esigenza a studiarli senza la pretesa di riveverli "in toto",
mentre godiamo,stupefatti e "grati",di quanto arrivato a noi di quel Pensiero,
che avremo poi il privilegio di far evolvere ulteriormente,in sè e per sè o ben sfruttandolo in "altri" campi,
per quanto c'è dato di riuscire a fare nella storia in continua evoluzione dell'essere umano;
voglio insomma dirti che,ti piaccia o no,
è bene che tu conosca e ti sia fatto un'idea approfondita del funzionamento del primo motore a scoppio:
ma non hai alcun bisogno,per costruire certi bolidi o qualche altra invenzione che parta da quella matrice,
di riviver ogni fallimento di Bersanti prima d'arrivare a costruirlo,
e sopratutto non hai ragione di non impiegare nella ricerca dell'ignoto il(presumibilmente tanto..)tempo che hai risparmiato grazie al suo lavoro!
Fidati del lavoro delle menti che t'han preceduto,insomma,e sfruttalo per completarlo:
il piacere di quella scoperta rimarrà loro per sempre,tanto,
ma nessuno potrà toglierti quello che,magari una volta sola nella Vita(spero di più,chiaro..),
proverai sfruttando le conoscenze regresse in modo un pò più equilibrato!
Perdonami questo papello:
saluti dal web.
P.S.(*)In questo contesto intendo con tal termine chiunque,
dai Fisici agli Agronomi passando per Ingegneri ed Economisti e chi più ne ha più ne metta,
abbia contribuito a creazione e/o comprensione e/o risoluzione di problemi scientifici e pratici..
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