Non riesco a risolvere questo integrale.
Salve a tutti, in un esercizio di analisi 2 è venuto fuori questo integrale
\( \int_{0}^{1} x^2cos^2x\, dx \) .
Non riesco a trovare una primitiva di quella funzione. Ho provato a integrare per parti,
Ad esempio avevo scelto $ x^2 $ come fattore differenziale e $ cos^2x$ come fattore finito .. così
\( \int_{}^{} x^2cos^2x\, dx = (x^3/3)cos^2x - \int_{}^{} (x^3/3)2cosxsinx\, dx \)
ma l'integrale si complica sempre di più.
Come procedo?
\( \int_{0}^{1} x^2cos^2x\, dx \) .
Non riesco a trovare una primitiva di quella funzione. Ho provato a integrare per parti,
Ad esempio avevo scelto $ x^2 $ come fattore differenziale e $ cos^2x$ come fattore finito .. così
\( \int_{}^{} x^2cos^2x\, dx = (x^3/3)cos^2x - \int_{}^{} (x^3/3)2cosxsinx\, dx \)
ma l'integrale si complica sempre di più.
Come procedo?
Risposte
Integra due volte per parti...separando $x^2 \cdot cos^2 x$ e usando $\cos^2 x$ come fattore differenziale. Se farai bene i conti ($\int cos^2 x$ è un integrale notevole, ma in ogni caso puoi calcolartelo facilmente sempre per parti) ti ritrovi
$x^2 (\cos x\sin x + x)/2 -\int 2x (\cos x\sin x +x)/2 dx$
che può essere spezzato per linearità in un polinomio (che integri facilmente) e nell'integrale
$\int 2x (\cos x\sin x)/2 dx$ che è come scrivere $\int x/2\sin 2x$...a questo punto integri ancora una volta per parti usando $\sin 2x$ come fattore differenziale, e poi fai un cambio di variabile
$x^2 (\cos x\sin x + x)/2 -\int 2x (\cos x\sin x +x)/2 dx$
che può essere spezzato per linearità in un polinomio (che integri facilmente) e nell'integrale
$\int 2x (\cos x\sin x)/2 dx$ che è come scrivere $\int x/2\sin 2x$...a questo punto integri ancora una volta per parti usando $\sin 2x$ come fattore differenziale, e poi fai un cambio di variabile
io scelgo un'altra strada..
allora prima di calcolare l'integrale definito.. calcolo prima l'integrale indefinito, perchè se conosco la primitiva posso calcolare l'integrale
parto da qui $\int x^2 \cos^2(x)dx$
perfetto..integrando già per parti mi si complica, quindi uso la relazione trigonometrica
sappiamo che $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1\to \cos^2(x)=1/2(\cos(2x)+1)$
quindi posso riscrivere l'integrale così $1/2\int x^2(\cos(2x)+1)=1/2 (\int x^2 \cos(2x)dx+\int x^2 dx)$
ora è più maneggevole
prova!..
un consiglio
allora prima di calcolare l'integrale definito.. calcolo prima l'integrale indefinito, perchè se conosco la primitiva posso calcolare l'integrale
parto da qui $\int x^2 \cos^2(x)dx$
perfetto..integrando già per parti mi si complica, quindi uso la relazione trigonometrica
sappiamo che $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1\to \cos^2(x)=1/2(\cos(2x)+1)$
quindi posso riscrivere l'integrale così $1/2\int x^2(\cos(2x)+1)=1/2 (\int x^2 \cos(2x)dx+\int x^2 dx)$
ora è più maneggevole
prova!..
un consiglio
Grazie ad entrambi 
Per Newton_1372.. scusami ma dall'integrale
\( \int_{}^{}2x((cosxsinx+x)/2) \, dx \) come passi a
\( \int_{}^{}2x((cosxsinx)/2) \, dx \) ???
Per 21zuclo .. dall'integrale
\( \int_{}^{}x^2(cos2x) \, dx \) procedo per parti?
quale fattore differenziale sceglieresti? Perchè scegliendo come fatt differenziale x^2
l'integrale si complica...
Per Newton_1372.. scusami ma dall'integrale
\( \int_{}^{}2x((cosxsinx+x)/2) \, dx \) come passi a
\( \int_{}^{}2x((cosxsinx)/2) \, dx \) ???
Per 21zuclo .. dall'integrale
\( \int_{}^{}x^2(cos2x) \, dx \) procedo per parti?
quale fattore differenziale sceglieresti? Perchè scegliendo come fatt differenziale x^2
l'integrale si complica...
"Marthy_92":
Per 21zuclo .. dall'integrale
\( \int_{}^{}x^2(cos2x) \, dx \) procedo per parti?
quale fattore differenziale sceglieresti? Perchè scegliendo come fatt differenziale x^2
l'integrale si complica...
l'integrale non si complica.. perchè se scegli $f(x)=x^2$ e $g'(x)=\cos(2x)$
allora $f'(x)=2x$ e $\int \cos(2x)=1/2 \sin (2x)$
ti diventa il tutto
$1/2 x^2 \sin(2x)-\int 1/2 \sin(2x)\cdot 2x dx=1/2 x^2 \sin(2x)-\int x \sin(2x)dx$
ora ti resta da integrale allo stesso modo $\int x \sin(2x)dx$
ATTENZIONE, ricorda che tutto questo deve essere moltiplicato per $1/2$ la costante che abbiamo lasciato fuori dall'inizio!
Scomponi l'integrale in una somma di un integrale di un polinomio (che calcoli facilmente) e $\int 2x(\cos x\sin x)/2 dx$
Ok a posto, risolto 
grazie 1000 a tutti !
grazie 1000 a tutti !
Piccola nota in aggiunta a quanto hanno già detto correttamente gli altri due utenti nelle soluzioni proposte. In realtà se si vuole integrare per parti $\cos^2x$ bisogna procedere in maniera un attimo più "furba". Mi spiego meglio di seguito.
Applicando l'integrazione una prima volta a $\cos^2x$ otteniamo:
$\int \cos^2x dx = \int \cos x \cos x dx = \sin x \cos x - \int - \sin^2 x dx = \sin x \cos x + \int 1 - \cos^2x dx = \sin x \cos x + \int 1 dx - \int \cos^2x dx$
Ora potrebbe sembrare che siamo ritornati indietro (otteniamo di nuovo lo stesso integrale di partenza nella parte destra del formula) ma non è così. Spostando l'integrale che avevamo all'inizio dal secondo al primo membro si ottiene infatti:
$\int \cos^2x dx = \frac{x + \sin x \cos x}{2}$
Applicando l'integrazione una prima volta a $\cos^2x$ otteniamo:
$\int \cos^2x dx = \int \cos x \cos x dx = \sin x \cos x - \int - \sin^2 x dx = \sin x \cos x + \int 1 - \cos^2x dx = \sin x \cos x + \int 1 dx - \int \cos^2x dx$
Ora potrebbe sembrare che siamo ritornati indietro (otteniamo di nuovo lo stesso integrale di partenza nella parte destra del formula) ma non è così. Spostando l'integrale che avevamo all'inizio dal secondo al primo membro si ottiene infatti:
$\int \cos^2x dx = \frac{x + \sin x \cos x}{2}$
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