Non riesco a risolvere questa succesione

[giovannifantasia]

Salve ragazzi non riesco a risolvere questa succesione:
$ an=cosh ((n+1)/(n^2+1))^(n^2+n+1) $

io faccio il limite che tende a infinito e uso mc lauren (sostituisco a 1/n t )ma niente.
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Ringrazio anticipatamente

[Shocker1]

Provo io

Prima di tutto osserviamo che
$ (n+1)/(n^2 + 1) ~ 1/n$
$ n^2 + n + 1 ~ n^2$

Quindi basta risolvere il seguente limite:
~
$lim_{n->+oo} cosh(1/n)^(n^2)$

Ricordo che $cosh( x ) = sqrt(1 + sinh^2(x))$
Quindi $cosh(1/n)^(n^2) = (1 + sinh^2(1/n))^(n^2/2)$

$lim_{n->+oo} cosh(1/n)^(n^2) = lim_{n->+oo} (1 + sinh^2(1/n))^(n^2/2) = lim_{n->+oo} exp{ n^2/2 * ln(1 + sinh^2( 1/n))}$
Facciamo una sostituzione: $1/n = t$
$lim_{t->0} exp{1/(2t^2) * ln(1 + sinh^2(t))}$
Sappiamo che $log(1 + sinh^2(t))~~ log(1+t^2)$ per $t->0$
quindi:
$lim_{t->0} exp{1/(2t^2) * ln(1 + sinh^2(t))} = lim_{t->0} exp{ 1/2 * ln(1 + t^2)/t^2} = e^(1/2)$


Ciao

Edit: corretta una svista

[giovannifantasia]

Fantastico, grazie !!! ecco i passaggi che non mi venivano di fare