Non riesco a risolvere questa equazione!! $x^(1,08)(0,8+1,3x)=720$

[luiginapoli47]

Buonasera, sto cercando di risolvere questa equazione ma non riesco a capire come trovarmi il risultato che dovrebbe essere $x=0,52$
l'equazione è la seguente: $x^(1,08)(0,8+1,3x)=720$
qualcuno potrebbe darmi un'aiuto sulla risoluzione, graziee!!

[Quinzio]

Intanto dubito fortemente che il risultato sia $x = 0.52$.
$0.52^{1.08}$ e' sicuramente minore di 1. Lo maggioriamo con 1.

Quindi
$0.8 + 1.3 * 0.52 > 720$ ?
Non credo proprio.

sto cercando di risolvere questa equazione ma non riesco a capire come trovarmi il risultato

Certo che non ci riesci. Per via analitica non esiste un modo per risolverla, non e' un'equazione facile.
Devi usare uno strumento di calcolo, come Matlab, Wolfram, ecc...

[pilloeffe]

Ciao Luiginapoli47,

Tanto per cominciare riscriverei il titolo del post, che così come l'hai scritto è molto poco significativo, con uno del tipo seguente:

non riesco a risolvere l'equazione $x^(1,08)(0,8+1,3x)=720$

Poi sei sicuro del testo dell'equazione? Perché se il testo è quello la soluzione non può

"Luiginapoli47":essere $x=0,52$

come ti ha già fatto notare giustamente Quinzio (infatti è $x = 20, 5483 $), se invece sei assolutamente certo che il risultato sia $x = 0,52 $ allora è senz'altro errata l'equazione che hai scritto...

[luiginapoli47]

scusate tanto, in effetti il risultato dell'equazione mi è stato dato cosi, quindi non so con sicurezza se sia quello o meno.
Nonostante questo ho utilizzato questa equazione più che altro per capire il procedimento di risoluzione perché davvero non so da dove iniziare.
Cambierò il titolo, grazie mille per il consiglio

[pilloeffe]

"Luiginapoli47":ho utilizzato questa equazione più che altro per capire il procedimento di risoluzione perché davvero non so da dove iniziare.

Beh, ma qui vale ciò che

"Quinzio":Certo che non ci riesci. Per via analitica non esiste un modo per risolverla, non è un'equazione facile.
Devi usare uno strumento di calcolo, come Matlab, Wolfram, ecc...

Io ad esempio ho usato WolframAlpha per determinare la soluzione $x = 20,5483 $
Se per qualche motivo non puoi usare WolframAlpha, potresti cercare una soluzione per via grafica; dopo qualche passaggio si può scrivere:

$x^{1,08} = 720/(1,3x + 0,8) = 7200/(13x + 8)$

Quella al secondo membro è una funzione omografica (iperbole traslata), cioè una funzione del tipo $y = g(x) = (ax + b)/(cx + d) $ ove nel caso in esame

$ a = 0 $
$ b = 7200 $
$ c = 13 $
$ d = 8 $

Quindi si ha:

$ {(y = x^{1,08}),(y = 7200/(13x + 8)):} $

Si vede subito che la soluzione deve essere positiva ed in prima approssimazione si può considerare la prima equazione $y = x $ invece di $y = x^{1,08}$ : si trova che le due curve si incontrano nei pressi del punto $x_0 = 23 $. Poi si può usare questo punto come valore iniziale del metodo di Newton-Raphson per risolvere l'equazione

$ f(x) = 1,625 x^{2,08} + x^{1,08} - 900 = 0 $

con la relazione di ricorrenza

$ x_{i + 1} = x_i - (f(x_i))/(f'(x_i)) $

Dato che $f'(x) = 1,08 x^{0,08} + 3,38 x^{1,08} $, partendo da $x_0 = 23 $ si ha:

$x_1 = 23 - (1,625 \cdot 23^{2,08} + 23^{1,08} - 900)/(1,08 \cdot 23^{0,08} + 3,38 \cdot 23^{1,08}) = 20,6872 $

$x_2 = 20,6872 - (1,625 \cdot 20,6872^{2,08} + 20,6872^{1,08} - 900)/(1,08 \cdot 20,6872^{0,08} + 3,38 \cdot 20,6872^{1,08}) = 20,5488 $

Come puoi vedere, già alla seconda iterazione si ottiene un valore che differisce da quello fornito da WolframAlpha solo dalla quarta cifra decimale...

[ghira1]

Ho riscritto l'equazione come $x=(720/(1,3x+0.8))^{1/{1,08}}$ e ho usato l'iterazione, partendo da $x=0$ per nessun motivo particolare.

#!/usr/local/bin/perl,

$|=1;
while (1) {
print $x."\n";
$x=(720/(1.3*$x+0.8))**(1/1.08);
}

Dopo.. qualche iterazione... arriva a 20,5482975462689. Newton-Raphson è sicuramente meglio ma in realtà molto spesso uso questo metodo un po' più ingenuo.

[pilloeffe]

"ghira":Dopo.. qualche iterazione...

Beh, ma è logico ghira, sei partito da molto lontano...
Prova a considerare come punto di partenza del tuo metodo la soluzione $x_0 > 0 $ dell'equazione di secondo grado che si ottiene considerando $x$ invece di $x^{1,08}$: vedrai che le iterazioni diminuiscono...

[ghira1]

"pilloeffe":
Beh, ma è logico ghira, sei partito da molto lontano...

Lo so!