Non riesco a definire la convergenza
salve chiedo scuso per il disturbo ho gia scritto poco tempo fa su questo argomento e vi ringrazio per l'aiuto.
Ora non riesco a definire se queste serie convergono o meno
$ sum(((3n)/(3n+1))^n) $
su questa o provato a scomporla e prima cosa che ho fatto ho diviso i polinomi che mi è diventata cosi
$ (1-1/(3n+1))^n $
ma se adesso provo a scomporlo nella serie mi viene che la prima diverge come serie essendo $ sum(1^n) $ e la seconda converge ora la soluzione io so quale sia pero posso considerare questo ragionamento che mi fa avverare la soluzione ovvero siccome la prima tende a infinito per qualunque valore diverge la seconda la serie diverge?
la seconda serie che ho è simile pero non ho idea di come posso risolverla
$ sum(((2n+1)/(3n+1))^(n/2))$
quest'ultima ho provato a risolverla come la prima ma non posso scomporla essendo sotto una radice quadrata
Ora non riesco a definire se queste serie convergono o meno
$ sum(((3n)/(3n+1))^n) $
su questa o provato a scomporla e prima cosa che ho fatto ho diviso i polinomi che mi è diventata cosi
$ (1-1/(3n+1))^n $
ma se adesso provo a scomporlo nella serie mi viene che la prima diverge come serie essendo $ sum(1^n) $ e la seconda converge ora la soluzione io so quale sia pero posso considerare questo ragionamento che mi fa avverare la soluzione ovvero siccome la prima tende a infinito per qualunque valore diverge la seconda la serie diverge?
la seconda serie che ho è simile pero non ho idea di come posso risolverla
$ sum(((2n+1)/(3n+1))^(n/2))$
quest'ultima ho provato a risolverla come la prima ma non posso scomporla essendo sotto una radice quadrata
Risposte
Ma, nella prima serie, facendo il limite per verificare la condizione necessaria per la convergenza, viene $\frac{1}{^3\sqrt{3}}$
e quindi la condizione non è soddisfatta e la serie diverge, no?
e quindi la condizione non è soddisfatta e la serie diverge, no?
perdonami ho commesso una svista è giusto diverge
XD quindi ho fatto bene...allora incomincio ad acchiapparci qualcosa 
asp hai commesso un errore perche la serie non è $1/(3n+1)$ ma è $(1/(3n+1))^n$
io ho calcolato il limite della prima serie che hai messo
$((3n)/(3n+1))^n$
$((3n)/(3n+1))^n$
"bugger":
io ho calcolato il limite della prima serie che hai messo
$((3n)/(3n+1))^n$
si ma tu non hai calcolato $((3n)/(3n+1))^n$ ma hai seguito il mio ragionamento facendo solamente la parte $(1/(3n+1))^n$
$ lim_{n \to oo} ((3n)/(3n+1))^n=lim_{n \to oo} (((3n)/(3n+1))^(3n))^(1/3)=1/(e^(1/3))=1/(^3\sqrt{e}) $
Usando il limite notevole
$ lim_{x \to +-oo}(x/(x+1))^x=1/e $
Usando il limite notevole
$ lim_{x \to +-oo}(x/(x+1))^x=1/e $
cosi pero come dici tu converge e il risultato di tutta la serie deve divergere
no non converge, quel limite serve a dire se è verificata a no la condizione necessaria per la convergenza, ed è soddisfatta quando il limite fa $0$, in quel caso non fa $0$ e quindi non converge
asp tu hai usato il criterio che dice che se il limite esiste converge e se non esiste (uguale a 0) diverge e per verificare hai moltiplicato e diviso l'esponente per 3 e cosi facendo hai dimostrato che siccome il limite è 0 in poche parole diverge?
Non ho capito nulla di ciò che hai detto, perdonami.
Io ho semplicemente usato il Teorema (Condizione necessaria per la convergenza) che recita così:
Se la serie $ sum_{n=1}^oo a_n $ è convergente allora $ lim _{n \to oo} a_n=0 $
Ho applicato questo teorema alla tua serie. Il limite l'ho fatto col limite notevole che ti ho scritto prima, il risultato è diverso da zero, dunque la condizione necessaria non è verificata.
Io ho semplicemente usato il Teorema (Condizione necessaria per la convergenza) che recita così:
Se la serie $ sum_{n=1}^oo a_n $ è convergente allora $ lim _{n \to oo} a_n=0 $
Ho applicato questo teorema alla tua serie. Il limite l'ho fatto col limite notevole che ti ho scritto prima, il risultato è diverso da zero, dunque la condizione necessaria non è verificata.
Comunque secondo me potresti anche dire che per $n \to oo$ la serie di partenza si comporta come $1^n$ che è la serie geometrica di ragione 1 e diverge
perdonami non mi sono spiegato ho capito ora dicevo lo stesso teorema solo che non lo mai usato quello e ho o almeno avevo le idee confuse
"bugger":
Comunque secondo me potresti anche dire che per $n \to oo$ la serie di partenza si comporta come $1^n$ che è la serie geometrica di ragione 1 e diverge
cosè sta roba?!
qunado $n \to oo,$ $1^n$ è una forma indeterminata uè!
"Noisemaker":
[quote="bugger"]Comunque secondo me potresti anche dire che per $n \to oo$ la serie di partenza si comporta come $1^n$ che è la serie geometrica di ragione 1 e diverge
cosè sta roba?!
qunado $n \to oo,$ $1^n$ è una forma indeterminata uè![/quote]O c... hai ragione!
Perdonami..
scusate stavo controllando la seconda serie ho provato vari calcoli mi dite se il procedimento è giusto?
$sum(((2n+1)/(3n+1))^(n/2))=lim _(n rarr oo)(((2n+1)/(3n+1))^(n/2))^(1/n) rArr ((2n+1)/(3n+1))^(1/2) rArr (2/3)^(1/2)$ $sqrt(2/3)<1$ la funzione converge
$sum(((2n+1)/(3n+1))^(n/2))=lim _(n rarr oo)(((2n+1)/(3n+1))^(n/2))^(1/n) rArr ((2n+1)/(3n+1))^(1/2) rArr (2/3)^(1/2)$ $sqrt(2/3)<1$ la funzione converge
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