Non riesco a capire questo limite
Ciao a tutti, non riesco a capire il risultato di questo limite
[math]lim x->-inf [sqrt((x^2-16))/(x-18)][/math]
Il risultato è -1 ma non ne capisco il motivo visto che raccogliendo la X sotto la radice quadrata e portandola fuori da quest'ultima il risultato dovrebbe essere semplicemente 1 essendo che le x si annullano a vicenda. Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi dove sbaglio?
Risposte
Ciao. Interessante questo esercizio.
Anche a me, ragionando solo in termini algebrici, raccogliendo la x al numeratore e al denominatore risulta uno.
Poi però ho ragionato sul fatto che la funzione è negativa per x minore di -4. Se per esempio calcoliamo il limite per x che tende a meno 5, otteniamo numeratore positivo (radice quadra di 25-16 ) e denominatore negativo (-5-18 ) e pertanto il risultato è negativo.
Infatti il numeratore essendo sotto radice quadrata ha soluzioni per x minore o uguale di -4 e per x maggiore o uguale di +4. E lì è positivo. Il denominatore è positivo per x maggiore di 18. Studiando il segno del rapporto tra numeratore e denominatore ottengo che per x minore di -4 la funzione è negativa. Quindi il limite non potrà essere positivo.
Per x che tende a meno infinito, il numeratore è per forza positivo perchè è una radice quadrata e x è minore di meno 4 ; il denominatore invece è negativo. Il prodotto dei due segni è pertanto negativo.
Rimane comunque anche a me qualche curiosità in merito a questo limite.
Anche perchè ho un sito xxxxxxxxxxxxxxxxxx con vari esercizi svolti e non mi era ancora capitato questo specifico esercizio.
Pertanto altre delucidazioni saranno interessanti.
Spero di averti aiutato in qualche modo.
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Anche a me, ragionando solo in termini algebrici, raccogliendo la x al numeratore e al denominatore risulta uno.
Poi però ho ragionato sul fatto che la funzione è negativa per x minore di -4. Se per esempio calcoliamo il limite per x che tende a meno 5, otteniamo numeratore positivo (radice quadra di 25-16 ) e denominatore negativo (-5-18 ) e pertanto il risultato è negativo.
Infatti il numeratore essendo sotto radice quadrata ha soluzioni per x minore o uguale di -4 e per x maggiore o uguale di +4. E lì è positivo. Il denominatore è positivo per x maggiore di 18. Studiando il segno del rapporto tra numeratore e denominatore ottengo che per x minore di -4 la funzione è negativa. Quindi il limite non potrà essere positivo.
Per x che tende a meno infinito, il numeratore è per forza positivo perchè è una radice quadrata e x è minore di meno 4 ; il denominatore invece è negativo. Il prodotto dei due segni è pertanto negativo.
Rimane comunque anche a me qualche curiosità in merito a questo limite.
Anche perchè ho un sito xxxxxxxxxxxxxxxxxx con vari esercizi svolti e non mi era ancora capitato questo specifico esercizio.
Pertanto altre delucidazioni saranno interessanti.
Spero di averti aiutato in qualche modo.
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@ciancianmichele: quello che hai fatto, scrivendo i link al tuo sito e al tuo facebook, si chiama SPAM, ed è una cosa che tolleriamo poco su questo forum.
Tra l'altro, il modo assolutamente inadeguato con cui ti approcci alla risoluzione di questo limite mi porta a domandarmi in che modo tu speri di "fare fortuna" ponendoti come esperto di matematica.
Ad ogni modo, veniamo alla risoluzione seria di questo limite.
Come arguiva giustamente andrea, la cosa più ovvia è raccogliere
A questo punto entra in gioco una proprietà/definizione molto importante che di solito viene "bisfrattata" amorevolmente dagli studenti: il fatto che
e non, erroneamente,
e tenendo conto che per [math]x
Tra l'altro, il modo assolutamente inadeguato con cui ti approcci alla risoluzione di questo limite mi porta a domandarmi in che modo tu speri di "fare fortuna" ponendoti come esperto di matematica.
Ad ogni modo, veniamo alla risoluzione seria di questo limite.
[math]\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2-16}}{x-8}[/math]
Come arguiva giustamente andrea, la cosa più ovvia è raccogliere
[math]x^2[/math]
al numeratore avendo così[math]\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2(1-16/x^2)}}{x-8}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x-8}=[/math]
A questo punto entra in gioco una proprietà/definizione molto importante che di solito viene "bisfrattata" amorevolmente dagli studenti: il fatto che
[math]\sqrt{x^2}=|x|[/math]
e non, erroneamente,
[math]\sqrt{x^2}=x[/math]
. Detto questo il nostro limite diventa[math]=\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{x-8}=[/math]
e tenendo conto che per [math]x
Grazie mille per l'aiuto, sinceramente non la ricordavo proprio quella definizione! Cercherò di stare molto più attento.
Grazie mille ancora :)
Grazie mille ancora :)
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