Non riesco a calcolare questi limiti di successioni
Si devono calcolare solo con metodi algebrici (moltiplicando, dividendo, sommando, sottraendo, usando le proprietà dei logaritmi, ecc...)
1)$lim_(n->oo)(lnn/n)$
2)$lim_(n->oo)(4lnn-sqrtn)$
3)$lim_(n->oo)((4lnn-sqrtn)/(n^(1/3)+7))$
4)$lim_(n->oo)(nsin(1/n))^n
Ho provato in vari modi, ma niente da fare...
Vi sarei grato se mi aiutaste
Grazie in anticipo.
------------------------------------
Admin: Esercizi sui limiti
1)$lim_(n->oo)(lnn/n)$
2)$lim_(n->oo)(4lnn-sqrtn)$
3)$lim_(n->oo)((4lnn-sqrtn)/(n^(1/3)+7))$
4)$lim_(n->oo)(nsin(1/n))^n
Ho provato in vari modi, ma niente da fare...
Vi sarei grato se mi aiutaste
Grazie in anticipo.
------------------------------------
Admin: Esercizi sui limiti
Risposte
Il primo lo risolverei così: $1/n log\ n=log(root(n)n)$. Per $n\to infty$, $root(n)n\to1$(*) e quindi, dalla continuità di $log$, tutta la successione tende a zero.
Per dimostrare il limite notevole (*), senza strumenti di calcolo differenziale io userei i teoremi di Cesaro. Precisamente, il secondo teorema di Cesaro dice che, se una successione $a_n>0$ converge ad $a$, allora la successione delle medie geometriche $root(n)(a_1a_2...a_n)$ converge ad $a$. Applicando questo teorema alla successione $a_n:={(1, n=1), (n/(n-1), n>1):}$ (che converge ad 1 ed è positiva), otteniamo che $root(n)(1*2/1*3/2*...*(n)/(n-1))=root(n)(n)\to1$.
Per dimostrare il limite notevole (*), senza strumenti di calcolo differenziale io userei i teoremi di Cesaro. Precisamente, il secondo teorema di Cesaro dice che, se una successione $a_n>0$ converge ad $a$, allora la successione delle medie geometriche $root(n)(a_1a_2...a_n)$ converge ad $a$. Applicando questo teorema alla successione $a_n:={(1, n=1), (n/(n-1), n>1):}$ (che converge ad 1 ed è positiva), otteniamo che $root(n)(1*2/1*3/2*...*(n)/(n-1))=root(n)(n)\to1$.
Thank you very much, in effetti non avevo pensato a trasformare il logaritmo in quel modo.
Per gli altri qualcuno mi può dare una mano?
Per gli altri qualcuno mi può dare una mano?
Per il secondo ed il terzo si tratta di "costruirsi" il limite notevole $(log\ n)/(sqrt(n))\to0$. Sappiamo anche di più, cioè che $(log\ n)/(n^p)\to0$ per ogni $p>0$, però non saprei come fare senza regola di l'Hopital. Forse con qualche disuguaglianza ci possiamo ricondurre al limite (1) ?
Invece per il quarto pensavo di sfruttare i limiti notevoli $nsin\ 1/n\to1$ e $(1+1/(x_n))^(x_n)\toe$, per ogni successione infinita $x_n$. Infatti la successione in parentesi tonde tende a 1 e perciò la possiamo scrivere come $1+1/(x_n)$. Per trovare l'espressione di $x_n$ risolviamo questa equazione: $nsin\ 1/n=1+1/(x_n)$ da cui $x_n=1/(nsin\ 1/n-1)$. Perciò la nostra successione diventa: $(nsin\ 1/n)^n=[(1+1/(x_n))^(x_n)]^(n/x_n)$, la parentesi quadra tende a $e$ e $n/(x_n)=1/(sin\ 1/n-1/n)$.
Applichiamo adesso una disuguaglianza goniometrica: (per $x>=0$) $sin\ x<=x<=tan\ x$, in particolare $sin\ 1/n<=1/n$. Inoltre $sin\ 1/n\to0, 1/n\to0$. Perciò $sin\ 1/n - 1/n$ tende a zero restando negativa, da cui $n/(x_n)\to-infty$.
Quindi $(nsin\ 1/n)^n=[(1+1/(x_n))^(x_n)]^(n/x_n)\to0$ come $e^x$ per $x\to-infty$.
E' un'idea, non so se sufficientemente elementare per i tuoi scopi. Inoltre controlla quello che ho scritto, non vorrei aver commesso qualche errore.
Invece per il quarto pensavo di sfruttare i limiti notevoli $nsin\ 1/n\to1$ e $(1+1/(x_n))^(x_n)\toe$, per ogni successione infinita $x_n$. Infatti la successione in parentesi tonde tende a 1 e perciò la possiamo scrivere come $1+1/(x_n)$. Per trovare l'espressione di $x_n$ risolviamo questa equazione: $nsin\ 1/n=1+1/(x_n)$ da cui $x_n=1/(nsin\ 1/n-1)$. Perciò la nostra successione diventa: $(nsin\ 1/n)^n=[(1+1/(x_n))^(x_n)]^(n/x_n)$, la parentesi quadra tende a $e$ e $n/(x_n)=1/(sin\ 1/n-1/n)$.
Applichiamo adesso una disuguaglianza goniometrica: (per $x>=0$) $sin\ x<=x<=tan\ x$, in particolare $sin\ 1/n<=1/n$. Inoltre $sin\ 1/n\to0, 1/n\to0$. Perciò $sin\ 1/n - 1/n$ tende a zero restando negativa, da cui $n/(x_n)\to-infty$.
Quindi $(nsin\ 1/n)^n=[(1+1/(x_n))^(x_n)]^(n/x_n)\to0$ come $e^x$ per $x\to-infty$.
E' un'idea, non so se sufficientemente elementare per i tuoi scopi. Inoltre controlla quello che ho scritto, non vorrei aver commesso qualche errore.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo