Non mi torna qualcosa in questo limite
Nel tentativo di determinare $lim_{x \to 0} {1-cos(log(1+x))}/(x^{2}+sin^{4}3x)$
riscrivo il limite come segue, per utilizzare alcuni notevoli:
$lim_{x \to 0} (1-cos(log(1+x)))/log^{2}(1+x) log^{2}(1+x)/x^{2} 1/{1+(sin^{4}3x)/{(3x)^4}3^{4}x^{2}}$
Ora, dei tre fattori, per $x$ che tende a $0$, il primo tende a $1/2$ e gli altri due a $1$. Quindi il limite è $1/2$ che è il risultato corretto.
Tuttavia, se utilizzo gli o-piccolo, giungo alla forma ${o(x)}/{o(x)}$, avendo al denominatore tutti $o(x)$ e al numeratore $1-1+o(x)$.
Evidentemente commetto un errore nel primo o nel secondo modo, mi aiutereste? Grazie in anticipo.
riscrivo il limite come segue, per utilizzare alcuni notevoli:
$lim_{x \to 0} (1-cos(log(1+x)))/log^{2}(1+x) log^{2}(1+x)/x^{2} 1/{1+(sin^{4}3x)/{(3x)^4}3^{4}x^{2}}$
Ora, dei tre fattori, per $x$ che tende a $0$, il primo tende a $1/2$ e gli altri due a $1$. Quindi il limite è $1/2$ che è il risultato corretto.
Tuttavia, se utilizzo gli o-piccolo, giungo alla forma ${o(x)}/{o(x)}$, avendo al denominatore tutti $o(x)$ e al numeratore $1-1+o(x)$.
Evidentemente commetto un errore nel primo o nel secondo modo, mi aiutereste? Grazie in anticipo.
Risposte
Non commetti nessun errore, tranne, probabilmente la tua conclusione nel secondo ragionamento. Perché pensi vi sia un errore?
Perché credevo che il risultato ottenuto utilizzando i limiti notevoli sarebbe stato esattamente lo stesso che avrei trovato utilizzando gli o-piccolo, dal momento che questi ultimi mi risultano "connessi" ai primi.
Ad esempio, da $lim_{x \to 0} log(1+x)/x=1$ ho che $lim_{x \to 0} log(1+x)/x-1=lim_{x \to 0} log(1+x)-x/x=0$. Quindi, $log(1+x)-x=(log(1+x)-x)/x x$, e, per $x$ che tende a $0$, ho $log(1+x)-x=o(x)$ cioè $log(1+x)=x+o(x)$.
Di conseguenza mi aspettavo che utilizzando gli o-piccolo arrivassi ad $1/2$ e non a ${0(x)}/{0(x)}$.
Ad esempio, da $lim_{x \to 0} log(1+x)/x=1$ ho che $lim_{x \to 0} log(1+x)/x-1=lim_{x \to 0} log(1+x)-x/x=0$. Quindi, $log(1+x)-x=(log(1+x)-x)/x x$, e, per $x$ che tende a $0$, ho $log(1+x)-x=o(x)$ cioè $log(1+x)=x+o(x)$.
Di conseguenza mi aspettavo che utilizzando gli o-piccolo arrivassi ad $1/2$ e non a ${0(x)}/{0(x)}$.
No i limiti notevoli "escono" fuori dallo sviluppo di Taylor. Se fai gli sviluppi di Taylor al primo ordine in un intorno di \(0\) dovresti trovare \( x^2/2 + o(x^3) \) e \( x^2+o(x^4) \). Ora entrambi sono degli \(o(x) \) quando \(x \to 0 \). (edit) Ma la stima che fai usando solo gli \(o\)-piccoli è troppo imprecisa. Perché \(o(x)/o(x) \) è "quasi" una forma indeterminata sai solo che di avere due cose che vanno a zero più velocemente di \(x\). Ma non hai informazione di quanto velocemente vanno a zero una rispetto all'altra.
Nota che anche \(x^3 \) e \(x^2 \) sono degli \(o(x) \) per \(x \to 0 \) ma \( x^3/x^2 = x \) e \( x^2/x^3 = 1/x \) nessuno dei due è \(o(x) \) inoltre il primo limite va a \(0\) il secondo limite invece va \( \pm \infty \) (a dipendenza se è un intorno sinistro o destro. Quindi quando hai \( o(x)/o(x) \) non sai cosa fare. Se vuoi usare gli \(o\) o ti riconduci a degli \(o\) di ordine diverso. Ad esempio il primo è \(o(x^2)\) e il secondo è un \(o(x) \) e allora sai se va \(0\) o a infinito (a dipendenza di quale dei due rapporti prendi).
Ma in un caso come il tuo dove entrambi sono degli entrambi \( o(x) \) ma non degli \(o(x^2)\) devi fare una stima più precisa, usando Taylor ad esempio.
Perché sai allora che il limite è una costante (credo, non sono sicurissimo magari ci sono casi patologici, che non mi vengono in mente ora, in cui sono entrambi \(o(x)\) ma non \(o(x^2)\) e limite del rapporto non è una costante) ma non sai determinarla solo sapendo il loro comportamento asintotico.
Ma in un caso come il tuo dove entrambi sono degli entrambi \( o(x) \) ma non degli \(o(x^2)\) devi fare una stima più precisa, usando Taylor ad esempio.
Perché sai allora che il limite è una costante (credo, non sono sicurissimo magari ci sono casi patologici, che non mi vengono in mente ora, in cui sono entrambi \(o(x)\) ma non \(o(x^2)\) e limite del rapporto non è una costante) ma non sai determinarla solo sapendo il loro comportamento asintotico.
"3m0o":
No i limiti notevoli "escono" fuori dallo sviluppo di Taylor. Se fai gli sviluppi di Taylor al primo ordine in un intorno di \(0\) dovresti trovare \( x^2/2 + o(x^3) \) e \( x^2+o(x^4) \). Ora entrambi sono degli \(o(x) \) quando \(x \to 0 \). (edit) Ma la stima che fai usando solo gli \(o\)-piccoli è troppo imprecisa. Perché \(o(x)/o(x) \) è "quasi" una forma indeterminata sai solo che di avere due cose che vanno a zero più velocemente di \(x\). Ma non hai informazione di quanto velocemente vanno a zero una rispetto all'altra.
Ok, infatti mi ero stupito di arrivare a questa forma indeterminata, ma in realtà arrivo a $(x^{2}/2+o(x^3))/(x^{2}+o(x^4))$ e quindi a $1/2$.
Grazie per i chiarimenti.
"3m0o":
Perché sai allora che il limite è una costante (credo, non sono sicurissimo magari ci sono casi patologici, che non mi vengono in mente ora, in cui sono entrambi \( o(x) \) ma non \( o(x^2) \) e limite del rapporto non è una costante) ma non sai determinarla solo sapendo il loro comportamento asintotico.
Indeed, ho sbagliato scusa.
\( f(x) = x^2 \sin(1/x) \) e \( g(x) = x^2 \) sono due \(o(x) \) ma non \(o(x^2)\) quando \(x \to 0 \). E hai che \( \lim_{x \to 0} f(x)/g(x) \) è indeterminato.
"3m0o":
Nota che anche...
Grazie ancora
Premetto che non è molto elegante, ma posso anche notare che quel $sin^{4}3x$, per $x \to 0$ è praticamente ininfluente, cioè che è un $o$-piccolo di $x$, e vedere senza fare troppi conti che $lim_{x \to 0} {1-cos(log(1+x))}/(x^{2})=1/2$?
Sì, tra l'altro lo trovo pure un passaggio elegante. Dopotutto stai applicando il principio di soppressione degli infinitesimi di ordine superiore.
"Mathita":
Sì, tra l'altro lo trovo pure un passaggio elegante. Dopotutto stai applicando il principio di soppressione degli infinitesimi di ordine superiore.
bene, grazie mille
"algibro":
Ad esempio, da $lim_{x \to 0} log(1+x)/x=1$ ho che $lim_{x \to 0} log(1+x)/x-1=lim_{x \to 0} log(1+x)-x/x=0$. Quindi....
Come hai fatto ad ottenere l'espressione
$lim_{x \to 0} log(1+x)-x/x $ ?
grazie
"olanda2000":
[quote="algibro"]
Ad esempio, da $lim_{x \to 0} log(1+x)/x=1$ ho che $lim_{x \to 0} log(1+x)/x-1=lim_{x \to 0} log(1+x)-x/x=0$. Quindi....
Come hai fatto ad ottenere l'espressione
$lim_{x \to 0} log(1+x)-x/x $ ?
grazie[/quote]
Perdonami la tarda risposta, ho evidentemente sbagliato a scrivere, voleva essere $lim_{x \to 0} {log(1+x)-x}/{x}=0$.
Il senso voleva essere che se $x$ che tende a $0$, posso scrivere $log(1+x)$ come $x+o(x)$, dove la funzione che tende a $0$ è quella che ho sbagliato a scrivere
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