Non ho capito il criterio del confronto integrale per lo studio di serie
Ciao,
come prima cosa grazie, a tutti voi, per aver risposto alle mie domande ed avermi spiegato molte cose.
Sono riuscito a superare la prima parte dell'esame di analisi. Per uno come me, che alle superiori pensava che una funzione ha limite perchè non si allena abbastanza, è un traguardo! (ho appena avuto un idea)
Ora invece vorrei chiedervi un altra cosa: abbiamo cominciato lo studio delle serie. Tra i vari criteri elencati c'è anche il
Criterio del confronto integrale:
sia $f>= 0$, continua, decrescente in $[1,\+infty) => int_1^(+\infty)f(x)dx <+\infty=> \sum_(k=1)^(+\infty)f(k) < +\infty$
Se $int_1^(+\infty)f(x)dx =+\infty=> \sum_(k=1)^(+\infty)f(k) = +\infty$
Domanda 1:
come è possibile? Se io prendo una funzione, ad esempio $Y=2$, è decrescente e la sua primitiva in $[1,\+infty)$ è: $int_1^(+\infty)2dx = 2x|_0^(+\infty) = 2*(+\infty)-2*0=+\infty$. Come fa a dire che $int_1^(+\infty)f(x)dx <+\infty$, ossia nel mio caso: $int_1^(+\infty)2dx <+\infty$. Avrei potuto capirlo se $f$ fosse strettamente decrescente. Ma anche in quel caso mi sarei fatto una domanda (non so se coerente ma comunque me la sarei posta) perchè so l'esistenza di serie, come quella armonica $1/n$ che sono strettamente decrescenti ma non hanno abbastanza "velocita' per avere convergenza. E poi: come faccio a sapere quando la velocita' e' sufficiente e quando no?
Comunque, poi dice (la prof):
Anzi, prima fa 2 grafici:
Poi per quello che riguarda il primo grafico, in azzurro, dice: $\sum_(k=1)^(+\infty)f(k)<(f(1) +int_1^(+\infty)f(x)dx)$ mentre per il secondo dice: $\sum_(k=1)^(+\infty)f(k)>=int_1^(+\infty)f(x)dx$
Domanda 2: $k\in RR$ o $k\inNN$ ? Perchè ha preso $f(1)$ e lo ha aggiunto a $int_1^(+\infty)f(x)dx$? $f(1)$ è un valore irrisorio rispetto a un quadrato in blu... perchè non è $f(1)*\text(estremo destro - estremo sinistro)/\text(numero intervallini)$ ?
Grazie mille ragazzi
come prima cosa grazie, a tutti voi, per aver risposto alle mie domande ed avermi spiegato molte cose.
Sono riuscito a superare la prima parte dell'esame di analisi. Per uno come me, che alle superiori pensava che una funzione ha limite perchè non si allena abbastanza, è un traguardo! (ho appena avuto un idea)
Ora invece vorrei chiedervi un altra cosa: abbiamo cominciato lo studio delle serie. Tra i vari criteri elencati c'è anche il
Criterio del confronto integrale:
sia $f>= 0$, continua, decrescente in $[1,\+infty) => int_1^(+\infty)f(x)dx <+\infty=> \sum_(k=1)^(+\infty)f(k) < +\infty$
Se $int_1^(+\infty)f(x)dx =+\infty=> \sum_(k=1)^(+\infty)f(k) = +\infty$
Domanda 1:
come è possibile? Se io prendo una funzione, ad esempio $Y=2$, è decrescente e la sua primitiva in $[1,\+infty)$ è: $int_1^(+\infty)2dx = 2x|_0^(+\infty) = 2*(+\infty)-2*0=+\infty$. Come fa a dire che $int_1^(+\infty)f(x)dx <+\infty$, ossia nel mio caso: $int_1^(+\infty)2dx <+\infty$. Avrei potuto capirlo se $f$ fosse strettamente decrescente. Ma anche in quel caso mi sarei fatto una domanda (non so se coerente ma comunque me la sarei posta) perchè so l'esistenza di serie, come quella armonica $1/n$ che sono strettamente decrescenti ma non hanno abbastanza "velocita' per avere convergenza. E poi: come faccio a sapere quando la velocita' e' sufficiente e quando no?
Comunque, poi dice (la prof):
Anzi, prima fa 2 grafici:
Poi per quello che riguarda il primo grafico, in azzurro, dice: $\sum_(k=1)^(+\infty)f(k)<(f(1) +int_1^(+\infty)f(x)dx)$ mentre per il secondo dice: $\sum_(k=1)^(+\infty)f(k)>=int_1^(+\infty)f(x)dx$
Domanda 2: $k\in RR$ o $k\inNN$ ? Perchè ha preso $f(1)$ e lo ha aggiunto a $int_1^(+\infty)f(x)dx$? $f(1)$ è un valore irrisorio rispetto a un quadrato in blu... perchè non è $f(1)*\text(estremo destro - estremo sinistro)/\text(numero intervallini)$ ?
Grazie mille ragazzi
Risposte
"BoG":
Criterio del confronto integrale:
sia $f>= 0$, continua, decrescente in $[1,\+infty) => int_1^(+\infty)f(x)dx <+\infty=> \sum_(k=1)^(+\infty)f(k) < +\infty$
Se $int_1^(+\infty)f(x)dx =+\infty=> \sum_(k=1)^(+\infty)f(k) = +\infty$
Secondo me, ma potrei sbagliarmi, qui c'è un errore. Il fatto che $f(x)$ sia decrescente non implica che l'integrale converga. Il criterio dice che sotto quelle ipotesi, l'integrale e la serie hanno lo stesso comportamento. In particolare, se l'integrale converge, allora la serie converge.
Questo dovrebbe rispondere alla prima domanda.
EDIT Seconda domanda:
Sì, $k \in \mathbb{N}$. Per quanto riguarda i grafici e le disuguaglianze non mi capisco troppo... Ti potrebbe essere utile questa dimostrazione che perviene alle stesse formule e mostra anche da dove compare quel $f(1)$.
"BoG":
Poi per quello che riguarda il primo grafico, in azzurro, dice: $\sum_(k=1)^(+\infty)f(k)<(f(1) +int_1^(+\infty)f(x)dx)$ mentre per il secondo dice: $\sum_(k=1)^(+\infty)f(k)>=int_1^(+\infty)f(x)dx$
Domanda 2: $k\in RR$ o $k\inNN$ ? Perchè ha preso $f(1)$ e lo ha aggiunto a $int_1^(+\infty)f(x)dx$? $f(1)$ è un valore irrisorio rispetto a un quadrato in blu... perchè non è $f(1)*\text(estremo destro - estremo sinistro)/\text(numero intervallini)$ ?
$f(1)$ non è 'irrisoria rispetto a un quadrato blu', è proprio l'area del primo rettangolo blu, che ha altezza $f(1)$ e base $ 1$. Lo ha aggiunto all' integrale perché l'integrale comincia da 1 e non da 0, nella serie invece c'è anche il rettangolo $f(1)$, se no non poteva fare il confronto tra serie e integrale.
$k$ è in $N$, è l'indice della sommatoria.
Grazie per la risposta ragazzi.
A dire il vero, quando ho visto $f(1)$.. ho ho interpretato male le cose. $f(1)=\int_0^1f(x)dx$ solo perchè la base è $1$. Giusto? Ora ho capito anche perchè ha aggiunto $f(1)$:
perchè, patendo tutti da $1$, uno prende il rettangolo a sinistra, l'altro quello a destra e quindi c'è una discordanza di "un rettangolo", quello primo! no?
A dire il vero, quando ho visto $f(1)$.. ho ho interpretato male le cose. $f(1)=\int_0^1f(x)dx$ solo perchè la base è $1$. Giusto? Ora ho capito anche perchè ha aggiunto $f(1)$:
perchè, patendo tutti da $1$, uno prende il rettangolo a sinistra, l'altro quello a destra e quindi c'è una discordanza di "un rettangolo", quello primo! no?
Direi che è così, solo che $f(1)$ non è l'integrale tra 0 e 1 di $f(x)$, ma è l'area del rettangolo $f(1)*1$
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