Non ho capito bene un passaggio del prof con l'integrale:
Il prof ha scritto:
\(\displaystyle \int \frac{x^2}{2x^2 + 3x + 1} dx \)
Allora il polinomio del denominatore ha radici reali distinte e qui ci sono. Tuttavia la decomposizione in fratti semplici mi richiede che il polinomio del numeratore sia di almeno un grado inferiore di quello del denominatore. Qui i gradi sono uguali \(\displaystyle n=2 \)
Si potrebbe fare la divisione dei polinomi e dire che \(\displaystyle P(x) = Q(x)S(x) + R(x) \), lui ha scritto:
\(\displaystyle x^2 = \frac{1}{2} ( 2x^2 + 3x + 1) - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \) ed effettivamente è vero. Poi ha scritto:
\(\displaystyle \int ....dx = \int \frac{1}{2} dx - \frac{1}{2} \int \frac{3x + 1}{2x^2 + 3x + 1} dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \int \frac{3x + 1}{x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}dx \)
Tutto questo per studiare finalmente:
\(\displaystyle \int \frac{3x + 1}{x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}} dx \)
Mi potreste spiegare gli ultimi passaggi, non riesco a capirli per il momento! Grazie
\(\displaystyle \int \frac{x^2}{2x^2 + 3x + 1} dx \)
Allora il polinomio del denominatore ha radici reali distinte e qui ci sono. Tuttavia la decomposizione in fratti semplici mi richiede che il polinomio del numeratore sia di almeno un grado inferiore di quello del denominatore. Qui i gradi sono uguali \(\displaystyle n=2 \)
Si potrebbe fare la divisione dei polinomi e dire che \(\displaystyle P(x) = Q(x)S(x) + R(x) \), lui ha scritto:
\(\displaystyle x^2 = \frac{1}{2} ( 2x^2 + 3x + 1) - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \) ed effettivamente è vero. Poi ha scritto:
\(\displaystyle \int ....dx = \int \frac{1}{2} dx - \frac{1}{2} \int \frac{3x + 1}{2x^2 + 3x + 1} dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \int \frac{3x + 1}{x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}dx \)
Tutto questo per studiare finalmente:
\(\displaystyle \int \frac{3x + 1}{x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}} dx \)
Mi potreste spiegare gli ultimi passaggi, non riesco a capirli per il momento! Grazie
Risposte
Fatta la divisione hai quindi che:
$\frac{x^2}{2x^2+3x+1}=1/2 -1/2 \frac{3x+1}{2x^2+3x+1}$
(basta dividere quell'espressione che dicevi effettivamente essere vera, da entrambe le parti per $2x^2+3x+1$)
Dopo di che sfrutti la linearità dell'integrale e dividi il problema in 2 integrali. Il primo ($\int 1/2 dx$) è banale, per il secondo semplicemente il professore ha raccolto un $2$ a denominatore... e poi andrà avanti immagino.
Paola
$\frac{x^2}{2x^2+3x+1}=1/2 -1/2 \frac{3x+1}{2x^2+3x+1}$
(basta dividere quell'espressione che dicevi effettivamente essere vera, da entrambe le parti per $2x^2+3x+1$)
Dopo di che sfrutti la linearità dell'integrale e dividi il problema in 2 integrali. Il primo ($\int 1/2 dx$) è banale, per il secondo semplicemente il professore ha raccolto un $2$ a denominatore... e poi andrà avanti immagino.
Paola
Grazie 
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