Non esistenza di un limite.

[compa90]

Buonasera, sto provando a verificare, che il $lim_{x to + infty} sin(x)$ non esiste.
In particolare vorrei provare questo fatto applicando la definizione di limite, la quale dovrebbe diventare, cioè riscrivendola, in modo da dire che tale funzione non ha limite, quindi, devo distinguere due casi, cioè convergenza oppure divergenza.

Considero caso convergenza:

$exists epsilon>0 \ : \ forall x in RR \ exists x' ge x \ : \ |sin(x')-l|ge epsilon $

quindi, devo verificare che è vera, con $l in [-1,1]$.

vi chiedo, seguendo questa strategia, l'impostazione risulta essere corretta? inoltre, se fosse corretta, $epsilon, x'$ sono valori che devo determinare giusto?

Saluti

[ghira1]

"compa90":
$\exists epsilon>0 $

??

[compa90]

Ciao ghira, non capisco cosa vuoi suggerirmi

[ghira1]

Non ti sto suggerendo nulla.

[compa90]

Ok.

Ti chiedo la negazione di definizione è sbagliata?

[ghira1]

Hai detto caso convergenza

[compa90]

Si hai ragione, volevo dire non convergenza.

[gugo82]

Non c'è bisogno di armare tutto questo casino.
Vedi qui, §3, Esempio 1.

Ma, anche volendolo armare, basta risolvere un paio di disequazioni trigonometriche elementari (da quarto liceo).

[compa90]

Buongiorno, lo so che ci sono vari modo di dimostrare la non esistenza del limite più intelligenti di quello di applicare la definizione.

Poiché $sinx le a, \ sinx ge b$ non ammette soluzioni rispettivamente per $a<-1, \ b >1$, devo imporre, affinché si abbiano soluzioni, rispettivamente

$l-epsilon ge -1, \ l+epsilon le 1 => l +1 ge epsilon, \ epsilon le 1 - l$

Per cui ho i seguenti casi

$l +1 ge epsilon$, e $1 ge l ge 0$ oppure $l +1 ge epsilon$, e $-1 le l < 0$

$1-l ge epsilon$, e $1 ge l ge 0$ oppure $1-l ge epsilon$, e $-1 le l < 0$

quindi, devo risolvere quattro disequazioni trigonometriche elementari.

Sto procedendo bene?

[gugo82]

Scusa, ma perché "bumpi"?
Che risposta ti aspetti se ti fermi neanche a metà?

Inoltre, osserva che $epsilon$ è quantificato con $EE$, quindi di questo guazzabuglio di calcoli te ne servirà solo una parte, probabilmente...

"compa90":lo so che ci sono vari modo di dimostrare la non esistenza del limite più intelligenti di quello di applicare la definizione.

E visto che lo sai, perché non lo fai?

È come, passami l'analogia, aprire un cancello dicendo "Lo so come devo girare la chiave!", ma girando ugualmente la chiave al contrario: il più delle volte la chiave si spezza ed il cancello rimane bloccato.

[compa90]

Perchè voglio applicare la definzione.

Un modo che conosco è quello di scegliere due seccussioni $x_n, \ y_n$ divergenti positivamente tali che la $f(x_n) to l_1$ e $f(y_n) to l_2$ con $l_1 nel_2$ e concludere.
Un'altro modo è quello suggerito da te.

[gugo82]

"compa90":Perchè voglio applicare la definzione.

E allora fai i calcoli senza fermarti a chiedere conferma.
Hai scelto la tua strada, ora seguila fino in fondo.


P.S.: Dato che $l$ è quantificato con $AA$, ti potrebbe convenire distinguere i casi $l<-1$, $l=-1$, $-11$.

[compa90]

Io faccio questo ragionamento:

Sia $lle-1$ allora $|sinx -l| ge epsilon to sinx le -epsilon +l vee \ sinx ge epsilon +l$
La prima disequazione non ammette soluzione, invece, la seconda si, è sono date da:
Risolvo all'interno di $[-pi/2,pi/2]$
$sinx=epsilon+l$, allora $ x=sin^{-1}(l+epsilon) \ vee x=pi-sin^{-1}(l+epsilon)$
Tenuto conto del segno e dalla periodicità della funzione seno

$2kpi le x le sin^{-1}(l+epsilon) + pi(2k+1) \ vee 2pi-sin^{-1}(l+epsilon)+2kpi le x le 2pi + 2kpi$

se $epsilon+l<0$, altrimenti

$sin^{-1}(l+epsilon) + 2kpi le x le pi - sin^{-1}(l+epsilon)+ 2kpi $

Questo è il modo di procedere? No perchè il numero di calcoli è eccessivo.

[gugo82]

"compa90":Io faccio questo ragionamento [...]

Questo è il modo di procedere?

Sì.
Ma, come ti ho già detto, se ti fermi a metà e non concludi è impossibile capire se sei arrivato al punto o no.
Come finisce la storia?

"compa90":No perchè il numero di calcoli è eccessivo.

Hai scelto tu questa strada.
Seguila fino in fondo.

[compa90]

Buonasera gugo82.

$l ge 1$

$|sinx -l| ge epsilon <=> sinx le l - epsilon vee sinx ge l+epsilon$

Se $l ge 1 => l+epsilon>1 =>$ \(\displaystyle \not\exists \) $\ x in RR : \ sinx ge l+epsilon$

Considero l'intervallo $[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$.


$sinx=l-epsilon <=>x=sin^(-1)(l-epsilon) \ vee x=pi-sin^(-1)(l-epsilon) $
$l-epsilon>0$

$2kpi le x le sin^(-1)(l-epsilon) + 2kpi \ vee (2k+1)pi -sin^(-1)(l-epsilon) le x le 2kpi+2pi $

$l-epsilon<0$

$sin^(-1)(l-epsilon) + 2kpi le x le (2k+1)pi -sin^(-1)(l-epsilon) $

$|l|<1$

$|sinx-l| ge epsilon <=> sinx le l - epsilon vee sinx ge l+ epsilon$

Affinchè ammettano soluzioni si deve verificare che

$l+1 ge epsilon wedge epsilon le 1-l <=> epsilon le 1+|l|<2 => 0

Considero l'intervallo $[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$.

$sinx=l-epsilon <=>x=sin^(-1)(l-epsilon) \ vee x=pi-sin^(-1)(l-epsilon) $
$l-epsilon>0$

$2kpi le x le sin^(-1)(l-epsilon) + 2kpi \ vee (2k+1)pi -sin^(-1)(l-epsilon) le x le 2kpi+2pi $

$l-epsilon<0$

$sin^(-1)(l-epsilon) + 2kpi le x le (2k+1)pi -sin^(-1)(l-epsilon) $

$sinx=l+epsilon <=>x=sin^(-1)(l+epsilon) \ vee x=pi-sin^(-1)(l+epsilon) $
$l+epsilon>0$

$ 2kpi le x le sin^{-1}(l+epsilon) + pi(2k+1) \ vee 2pi-sin^{-1}(l+epsilon)+2kpi le x le 2pi + 2kpi $

$l-epsilon>0$

$ sin^{-1}(l+epsilon) + 2kpi le x le pi - sin^{-1}(l+epsilon)+ 2kpi $

Quindi, se non ho sbagliato, ho determinato un $epsilon$, il quale è in funzione di $l$, cioè $exists epsilon: 0
Va bene cosi?

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Segnala

[gugo82]

Uff...

Aggiustiamo questi calcoli, eliminando i passaggi inutili e specificando chi è $epsilon$ (perché se è quantificato con $EE$ devi dargli un valore fissato, non puoi tenerlo variabile).

La funzione $sin$ non ha limite per $x-> +oo$.

Dim.:

Chiaramente, $-oo$ [risp. $+oo$] non può essere limite di $sin$ per $x -> +oo$, perché per $K=-2$ [risp. $K=2$] non esiste alcun intorno di $+oo$ in cui risulti $sin x < -2$ [risp. $sin x > 2$].

Dunque, per terminare basta mostrare che nessun $l in RR$ può essere il limite di $sin$ per $x -> +oo$.
Distinguiamo un po' di casi:

[*:2vqui5z0] se $l< -1$, scelto $epsilon^** = (-l-1)/2 = - (l+1)/2$ si ha:

$AA x in RR,\quad l+epsilon^** = (l-1)/2 < -1 <= sin x$,

quindi non esiste alcun intorno di $+oo$ per cui si abbia $l-epsilon^** < sin x < l +epsilon^**$;

[/*:m:2vqui5z0]
[*:2vqui5z0] se $l > 1$, scelto $epsilon^** = (l-1)/2$ si ha:

$AA x in RR,\quad sin x <= 1 < (l+1)/2 = l - epsilon^**$

quindi non esiste alcun intorno di $+oo$ in cui si abbia $l- epsilon^** < sin x < l+ epsilon^**$;

[/*:m:2vqui5z0]
[*:2vqui5z0] se $l=-1$, posto $epsilon^** = 1/2$ si ha:

$l - epsilon^** < sin x < l + epsilon^** <=> sin x < -1/2$

ma quest'ultima non è soddisfatta da nessun numero del tipo $kpi$ (con $k in ZZ$) dunque, dato che $ZZ$ non è limitato superiormente, non esiste alcun intorno di $+oo$ in cui questa disuguaglianza sia sempre soddisfatta;

[/*:m:2vqui5z0]
[*:2vqui5z0] se $l=1$, scelto nuovamente $epsilon^** = 1/2$ si ha:

$l - epsilon^** < sin x < l + epsilon^** <=> 1/2 < sin x$

ma quest'ultima non è soddisfatta da nessun numero del tipo $kpi$ (con $k in ZZ$) dunque, dato che $ZZ$ non è limitato superiormente, non esiste alcun intorno di $+oo$ in cui questa disuguaglianza sia sempre soddisfatta;

[/*:m:2vqui5z0]
[*:2vqui5z0] se $-1< l < 1$, scelto $epsilon^** = 1/2 min \{ 1 - l, l + 1\}$ si ha $-1< l-epsilon^** $ e $l + epsilon^** < 1$ e per fatti elementari la disuguaglianza $l-epsilon^** < sin x < l+epsilon^**$ non è soddisfatta da alcun numero del tipo $+- pi/2 + 2kpi$ (con $k in ZZ$), perciò e per la illimitatezza superiore di $ZZ$ non esiste alcun intorno di $+oo$ in cui essa sia sempre soddisfatta.[/*:m:2vqui5z0][/list:u:2vqui5z0]

Ne consegue che, per ogni $l in RR$, esiste $epsilon^** >0$ tale che per ogni intorno $I$ di $+oo$ esiste almeno un $x^** in I$ tale che $|sin x^** - l| >= epsilon^**$; quindi nessun $l in RR$ può essere il limite di $sin$ per $x -> +oo$ perché la definizione di limite non è mai soddisfatta.

Vedi che non bisogna risolvere praticamente nessuna disequazione; basta ragionare sui risultati dei possibili calcoli.

[compa90]

gugo82 buongiorno, ti ringrazio per la risposta, però, c'è qualcosa che non è chiaro nella tua dimostrazione:

io devo dimostrare che $lim_{x to + infty} sinx$ non esiste, scegliendo la mia strada, devo verificare che è vera la seguente

$forall l \in [-1,1], \ exists epsilon>0 \ : forall x in RR \ exists x' ge x $ con $
|sinx-l| ge epsilon$

invece, tu hai dimostrato che non è soddisfatta la definizione di limite mostrando che non esiste nessun intorno di $+ infty$

Giusto?

[gugo82]

"compa90":gugo82 buongiorno, ti ringrazio per la risposta, però, c'è qualcosa che non è chiaro nella tua dimostrazione:

io devo dimostrare che $lim_{x to + infty} sinx$ non esiste, scegliendo la mia strada, devo verificare che è vera la seguente

$forall l \in [-1,1], \ exists epsilon>0 \ : forall x in RR \ exists x' ge x $ con $
|sinx-l| ge epsilon$

invece, tu hai dimostrato che non è soddisfatta la definizione di limite mostrando che non esiste nessun intorno di $+ infty$

Giusto?

Sì, perché questo è ciò che significa quella negazione.
Infatti:

"compa90":

$forall l \in [-1,1], \ exists epsilon>0 \ :\ forall x in RR, \ exists x' ge x :\
|sinx-l| ge epsilon$

significa che:

"per ogni $l in RR$, esiste un $epsilon > 0$ tale che per ogni intorno $]x,+oo[$ di $+oo$ la disuguaglianza $|sin x - l| < epsilon$ non è verificata da almeno un elemento $x' in ]x,+oo[$".

[compa90]

Perfetto ho capito.

I casi $l ge 1, l le -1$, discussi da me, non soddisfano

$ forall l \in [-1,1], \ exists epsilon>0 \ : forall x in RR \ exists x' ge x $ con $ |sinx-l| ge epsilon $

?