Non esistenza di un Limite

[Flamber]

Buongiorno a tutti,

Vorrei sapere se qualcuno conosce un metodo rigoroso che mi permetta di stabilire se un limite esiste o meno, perchè facendo due calcoli, ci arrivo ad occhio sostituendo qualche valore, a vedere se il limite non esiste, ma le cose fatte ad occhio di solito all'esame sono le prime che si sbagliano.

[Flamber]

Ad esempio come faccio a dimostrare che non esiste

$lim_(x->1)(x^2-3x+2)/(x^3-2x^2+x)^2$

Con dei passaggi algebrici, senza rifarmi alle definizioni?

[chiaraotta1]

A me sembra che il limite esista e che sia $oo$.

[Flamber]

Non penso, o meglio dal grafico e dai conti x=1 potrebbe sembrare un asintoto verticale, ma non lo è.

Comunque i calcoli che ho fatto sono questi:

$lim_(x->1)(x^2-3x+2)/(x^3-2x^2+x)^2 $$=$$ lim_(x->1)[(x-1)(x-2)]/((x-1)^2(x^2-x)^2)$ $=$ $lim_(x->1)(x-2)/((x-1)[x(x-1)]^2)$ $=$ $lim_(x->1)(x-2)/(x^2(x-1)^3)$ $=$ $-1/0$

ciò è sufficiente a dimostrare che il limite non esiste?



*modificato

[PZf]

Questo non basta a dimostrare che il limite non esiste, infatti $\lim_{x->1}(x-2)/(x^2(x-1)^4)$ è sempre della forma \(-1/0\) ma il limite esiste e vale $-oo$.

Nel tuo caso puoi concludere che il limite non esiste perché esistono, e sono diversi, i due limiti $lim_(x->1^-)(x-2)/(x^2(x-1)^3)=+oo$ e $lim_(x->1^+)(x-2)/(x^2(x-1)^3)=-oo$.